Verteilungsfunktion von X berechnen

Question

Aufgabe:

Sei \( X \) eine Zufallsvariable mit der folgenden Dichte:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x-1 &, \quad x \in[1,2] \\ 3-x &, \quad x \in(2,3] \\ 0 &, \quad \text { sonst } \end{array}\right. \)

a) Wie lautet die Verteilungsfunktion von \( X \) ? Zeichnen Sie diese.

b) Geben Sie die zugehörige Quantilfunktion \( Q_{X} \) an.

c) Berechnen Sie den Median von \( X \).

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \( \{X<-2\} \).

e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \( \{X \leq 2.5\} \).

f) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \( \{X \geq 1.5\} \).

g) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \( \{1.1 \leq X<2.6\} \).

Problem/Ansatz

ich habe Probleme bei der Verteilungsfunktion, die anderen Schritte sind für mich dann verständlich. Mich verwirrt, dass ich 2 Dichten habe. Ich habe versucht beide zu integrieren, jedoch habe ich nicht die korrekten Verteilungsfunktionen bekommen. Ich würde mich über jeglichen Tipp freuen!

Comments

Mich verwirrt, dass ich 2 Dichten habe. Ich habe versucht beide zu integrieren,

Ich sehe nur eine, stückweise definierte Dichte, die sich gut stückweise integrieren lässt.

Answer 1

a)

F(x) = 0 für x < 1
F(x) = 1/2·x^2 - x + 1/2 für 1 ≤ x < 2
F(x) = - 1/2·x^2 + 3·x - 7/2 für 2 ≤ x < 3
F(x) = 1 für x ≥ 3

Skizze

Comments

Vielen herzlichen Dank, ich stand jetzt so lange auf dem Schlauch, dass ich komplett verwirrt war und ich nicht erkannt habe, dass es sich um eine stückweise definierte Dichte handelt. Die Skizze war sehr sehr vorteilhaft.

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ich habe mich jetzt mit den Wahrscheinlichkeiten weiter beschäftigt und d) ist ja nicht im Definitionsbereich. Bei den anderen kommen bei gegebener Verteilungsfunktion für die Wahrscheinlichkeiten über 100% raus, was ja nicht sein kann?

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d) ist ja nicht im Definitionsbereich.

Der Definitionsbereich bei der Dichte als auch bei der Verteilungsfunktion ist komplett R.

P(X < -2) = F(-2) = 0

Bei den anderen kommen bei gegebener Verteilungsfunktion für die Wahrscheinlichkeiten über 100% raus, was ja nicht sein kann?

Das kann nicht sein und das ist auch nicht so.

F nimmt maximal den Wert 1 an und nicht mehr.

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ok, dann stehe ich wohl komplett auf dem Schlauch. Muss ich nicht einfach z.B. bei e) F(2,5) rechnen, also das einfach einsetzen bei F(x) = - 1/2·x2 + 3·x - 1/2 für 2 ≤ x < 3

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Oben ist in der Stammfunktion ein Tippfehler. Ich habe den Fehler jetzt verbessert. Du hättest aber auch sehen müssen das F(2.5) rechnerisch dadurch anders war als es der Graph wiedergegeben hat.

F(2.5) = - 1/2·2.5^2 + 3·2.5 - 7/2 = 7/8 = 0.875

Was man auch am Graphen näherungsweise ablesen kann.

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ok die Werte habe ich, prozentual passt auch alles. Ich frage mich gerade, wie die -7/2 zustande gekommen sind. Wie die 1/2 zustande gekommen sind (F(x) = 1/2·x2 - x + 1/2 für 1 ≤ x < 2) erschließt sich mir, aber die die - 7/2 gar nicht