Zeigen Sie: Das Urbild ist wieder ein Primideal

Question

Aufgabe:

Es sei \( \phi: R^{\prime} \rightarrow R \) ein Ringhomomorphismus und \( \mathfrak{p} \subseteq R \) ein Primideal.
Zeigen Sie, dass \( \phi^{-1}(\mathfrak{p}) \subseteq R^{\prime} \) wieder ein Primideal ist.

Problem/Ansatz:

Kein Plan

Answer 1

Sei \(ab\in \phi^{-1}(\mathcal{p})\).

Dann ist \(\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)\in \mathcal{p}\).

Da \(\mathcal{p}\) prim ist, folgt

\(\phi(a)\in \mathcal{p}\vee \phi(b)\in \mathcal{p}\), also

\(a\in \phi^{-1}(\mathcal{p}) \vee b \in \phi^{-1}(\mathcal{p})\),

also ist \(\phi^{-1}(\mathcal{p})\) prim.