Zeigen Sie mit dem Fehlerschrankensatz die Abschätzung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \in\right] \frac{1}{3}, 1\left[, \quad x^{2}<y<1\right\} \)
Wir betrachten folgende Funktion:
\( f: G \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\frac{x^{3}}{y} . \)
Zeigen Sie mit dem Fehlerschrankensatz die Abschätzung
\( |f(\vec{a})-f(\vec{b})| \leq 3\left(\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|\right) \)
für alle \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right) \in G, \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right) \in G \).
Hinweis: Es genügt, die Konvexität von \( G \) mit einer Skizze zu veranschaulichen.

Problem/Ansatz: Wie löst man diese Aufgabe?

Answer 1

Was auch immer der "Fehlerschrankensatz" ist, deine Abschätzung erhält man direkt aus dem Mittelwertsatz reeller Funktionen mehrerer Variabler.

Dass \(G\) konvex ist, soll ja nur "veranschaulicht" werden: siehe hier.

Per Mittelwertsatz wissen wir nun, dass es auf der Strecke von \(a\) nach \(b\) ein \(c= (c_1, c_2)\)  gibt, so dass

$$\left| f(a) - f(b) \right| = \left| \nabla f(c) \cdot (a-b)\right| \quad (1)$$Da G konvex ist, wissen wir auch, dass die gesamte Strecke und damit auch \(c\in G\) liegt.

Nun bestimmen wir \(\nabla f\) und schätzen ab:

$$\partial_x f(x,y) = 3\frac{x^2}y,\: \partial_y f(x,y) = -\frac{x^3}{y^2}$$ Das setzen wir in (1) ein und nutzen \(c\in G\) aus:

$$\left| f(a) - f(b) \right| \leq 3\cdot \underbrace{\frac{c_1^2}{c_2}}_{\leq 1}\left|a_1-b_1\right|+ \underbrace{\frac{c_1^3}{c_2^2}}_{\leq \frac 1{c_1}\leq 3}\left|a_2-b_2\right| \leq 3\left(\left|a_1-b_1\right|+ \left|a_2-b_2\right|\right)$$