Gegeben ist sie Funktion f mit f(x)= (3-x) * e^-x Nullstelle berechnen usw

Question

Gegeben ist sie Funktion f mit f(x)= (3 - x) * e^-x

a) Berechnen Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung.

b) Untersuchen Sie, ob der Graph von f Hoch- oder Tiefpunkte besitzt und geben Sie diese gegebenenfalls an.

c) Skizzieren Sie mithilfe der Ergebnisse aus a) und b) sowie einer Wertetabellw den Graphen von f.

d) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale an f im Punkt A(0/3).

Answer 1

a) Berechnen Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung.

f(x)= 0 -> (3-x) =0

f '(x) und f ''(x): Produktregel

b) Untersuchen Sie, ob der Graph von f Hoch- oder Tiefpunkte besitzt und geben Sie diese gegebenenfalls an.

f '(x) = 0

c) Skizzieren Sie mithilfe der Ergebnisse aus a) und b) sowie einer Wertetabellw den Graphen von f.

d) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale an f im Punkt A(0/3).

t(x) = (x-0)'f '(0) + 3

n(x) = (x-0)* (-1)/f '(0) + 3

Comments

Sind das alle Schritte weil manche Sachen sind doch unvollständig

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Ich wollte dir zeigen, was zu tu ist.

Der Rest ist Eigenleistung.

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Ich verstehe bei Aufgabe 1 nicht wie man die Produktregel machen muss

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Das sieht so aus:

\(f(x)=(3-x)\cdot e^{-x}\\ u=3-x\qquad v=e^{-x}\\ u'=-1\qquad v'=-e^{-x}\\ f'(x)=-1\cdot e^{-x}+(3-x)\cdot (-e^{-x})\\ =(-1-2+x)\cdot e^{-x}\\ =(-4+x)\cdot e^{-x}\)

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Ah Okey warum kommt bei dem v‘ vor dem e ein Minus aufeinmal hin

und geht das dann mit der zweiten Ableitung auch so

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Die Ableitungsregel lautet \(f(x)=e^{kx}\qquad f'(x)=k\cdot e^{kx}\)

Du multiplizierst also e mit der Ableitung des Exponenten und machst das bei der 2. Ableitung genauso.

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Wofür steht das k jetzt

muss das so aussehen oder wie

u‘ = -4 + x            v‘ = e^-x

u“ = -4                   v“ = e^-x

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k = -1 und damit multiplizierst du die Potenz wie bei der 1. Ableitung, also

 \( v=e^{-x}\qquad v'=-e^{-x}\)

und u' = 1

Answer 2

Hallo

1. Nst: da die e-Funktion  nie 0 wird, muss die Klammer 0 sein.

2. ableiten mit Produktregel wieder e-x ausklammern um Ist der Ableitung zu finden

3 kannst du ja hier die Funktion plotten lassen um deine Skizze zu kontrollieren

4, f'(3) ist die Steigung eine Geraden (-4 )  mit der Steigung eine Gerade durch (0,3) legen sollte nicht schwer sein , Normale mit der Steigung -1/f'(3)

Gruß lul

Comments

Kommt bei 1) als Nullstellen 3 raus

und wie geht 2) mit ableiten der Produktregel kannst du das aufschreiben

Answer 3

Gegeben ist sie Funktion f mit \(f(x)= (3 - x) * e^{-x}\)

a) Berechnen Sie die Nullstellen von f

\(f(x)= \frac{3-x}{e^{x}}\)

\(f(x)= \frac{3-x}{e^{x}}\)

\(N(3|0)\)

die erste  Ableitung:

\(\frac{d f(x)}{dx}= \frac{(-1)*e^{x}-(3-x)*e^{x}}{e^{2x}}=\frac{x-4}{e^{x}}\)

zweite Ableitung:

\(\frac{d^2 f(x)}{dx^2}=\frac{1*e^x-(x-4)*e^{x}}{e^{2x}}=\frac{5-x}{e^{x}}\)

b) Untersuchen Sie, ob der Graph von f Hoch- oder Tiefpunkte besitzt und geben Sie diese gegebenenfalls an.

\(\frac{x-4}{e^{x}}=0\)

\(x=4\)    \(f(4)= -\frac{1}{e^{4}}\)

Art des Extremwerts:

\(f´´(4)=\frac{1}{e^{4}}>0\) Minimum

d) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale an f im Punkt A(0|3):

Tangente:

\(f´(0)= -4\)

\( \frac{y-3}{x-0}=-4 \)

\(y=-4x+3 \)

Normale:

\( \frac{y-3}{x-0}=\frac{1}{4} \)

\(y=0,25x+3 \)

Comments

Danke für diese ausführliche Lösung, was hast du für ein Weg genommen bei der 1 Aufgabe mit den Ableitungen weil ich kenne das mit u und v

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\(f(x)= \frac{3-x}{e^{x}}\)

\(u=3-x\)→   \(u´=-1\)

\(v=e^x\)→   \(v´=e^x\)

Dann mit der Quotientenregel :

 \( \frac{u´*v-u*v´}{v^2} \)