Absolut-Homogenität für die Norm Lipschitz-stetiger Funktionen:

Question

Aufgabe:

Sei \( X \) der Vektorraum aller Lipschitz-stetigen Funktionen von \( [0,1] \) nach \( \mathbb{R} \). Für \( f \in X \) definieren wir
\( \|f\|_{\text {Lip }}:=|f(0)|+\sup _{\substack{x, y \in[0,1] \\ x \neq y}} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} . \)

Problem/Ansatz:

Einerseits soll man zeigen, dass \( \|f\|_{\infty} \leq\|f\|_{\text {Lip }} \) für alle \( f \in X \) gilt. Dass hätte ich mir so gedacht:

\( \sup |f(x)| \leq|f(0)|+\sup|f(x)-f(0)|=|f(0)|+\sup _{x \neq 0}|f(x)-f(0)| \leq|f(0)|+\underset{s \neq 0}{\sup \mid}\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right| \leq|f(0)|+\underset{x \neq y} {\sup \mid}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \)

Andererseits, dass \( \|\cdot\|_{\text {Lip }} \) eine Norm auf \( X \) definiert:

Die Dreiecksungleichung folgt direkt aus der für Beträge in ℝ und die Positivität gilt, weil, wenn ||f||=0, muss sowohl der erste Summand als auch der zweite gleich Null sein, weil beide selbst größer gleich Null sind.

Bei der Absolut-Homogenität habe ich Probleme: Es gilt ja \( \|\alpha \cdot f\| \leq|\alpha| \cdot\|f\| \) - da komm ich jetzt irgendwie nicht weiter?

Comments

Die Homogenität folgt auch direkt daraus, dass der Betrag eine Norm auf \( \mathbb{R} \) ist. Schreibe einfach mal \( ||\alpha f||_{\text{Lip}} \) aus und ziehe das \( \alpha \) dann jeweils raus.

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Also
\( | λ*f(0)|+ |λ* \underset{x \neq y} {\sup }\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|| \leq |λ|* | f(0)|+  |\underset{x \neq y} {\sup }\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|| \)?

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Wieso schreibst du \( \leq \)? Es gilt doch Gleichheit. (vgl. hier 2.)

Und wenn du die Beträge um das Supremum weglässt und richtig ausklammerst, steht es schon da.

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\( || λ*f(0)|+ λ* \underset{x \neq y} {\sup }\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right||| = |λ|* || f(0)|+  \underset{x \neq y} {\sup }\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right||| \)

Natürlich sollte es = anstatt von ≤ heißen ☺?

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Ich kann leider nicht nachvollziehen, wieso du deine Beträge so merkwürdig setzt. Es gilt doch einfach

\( ||\lambda f||_{\text{Lip}} = |\lambda \cdot f(0)| + \sup_{x,y\in [0,1], x\neq y} \Bigl| \frac{\lambda f(x) - \lambda f(y)}{x-y}\Bigr| \)

\( = |\lambda| |f(0)| + \sup_{x,y\in [0,1], x\neq y} \Bigl| \frac{\lambda( f(x) - f(y))}{x-y}\Bigr| \)

\( = |\lambda| |f(0)| + \sup_{x,y\in [0,1], x\neq y} \frac{|\lambda| |f(x) - f(y)|}{|x-y|}  \)

\( = |\lambda| \cdot \left(|f(0)| + \sup_{x,y\in [0,1], x\neq y} \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|}\right) = |\lambda| \cdot ||f||_{\text{Lip}}\)

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Danke für deine Hilfe.

Das schaut zwecks den Beträgen wirklich anschaulicher aus (die haben mich jetzt irgendwie ein bisschen aus dem Konzept gebracht :))