Berechnen Sie für die Funktion alle 1. und 2. partiellen Ableitungen an der Stelle (2;1).

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 10 (partielle Ableitungen) Berechnen Sie für die Funktion
\( f(x ; y)=\ln \left(x^{2}-y\right) \)
alle 1. und 2. partiellen Ableitungen an der Stelle (2; 1).

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Aloha :)

$$f(x;y)=\ln(x^2-y)$$

Die ersten partiellen Ableitungen kannst du sofort hinschreiben:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{x^2-y}\implies\frac{\partial f}{\partial x}(2;1)=\frac43$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-1}{x^2-y}\implies\frac{\partial f}{\partial x}(2;1)=-\frac13$$

Wegen des Satzes von Schwarz \(\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\right)\) brauchen wir nur drei 2-te partielle Ableitungen zu bestimmen. Dafür nutzen wir die Quotientenregel:$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{2(x^2-y)-2x\cdot2x}{(x^2-y)^2}=-\frac{2(x^2+y)}{(x^2-y)^2}\implies\frac{\partial f^2}{\partial x^2}(2;1)=-\frac{10}{9}$$$$\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{-1}{(x^2-y)^2}\implies\frac{\partial f^2}{\partial y^2}(2;1)=-\frac{1}{9}$$$$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{2x}{(x^2-y)^2}\implies\frac{\partial f^2}{\partial x\partial y}(2;1)=\frac{4}{9}$$

Answer 2

Verwende die Kettenregel mit innerer Funktion \(v(x,y)=x^2-y\)

Answer 3

nach x :

2x/(x^2-y)

nach xx:

(2*(x^2-y)- 2x*2)/(x^2-y)^2

nach y:

-1/(x^2-y)

nach yy:

((0 +1(x^2-y))/(x^2-y)^2