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Aufgabe:Screenshot_20230604_133401_OneDrive.jpg


Problem/Ansatz:

Wie würde man das Zeichnen?

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Aloha :)

Schreibe \((z=x+iy)\) mit Realteil \(x\) und Imaginärteil \(y\):

$$|z+i|\le1\implies|x+iy+i|\le1\implies|x+i(y+1)|\le1\implies$$$$\sqrt{x^2+(y+1)^2}\le1\implies x^2+(y+1)^2\le1$$

Das ist die Fläche eines Kreises mit Mittelpunkt \((0|-1)\) und Radius \(1\).

$$\operatorname{Im}(z)+1>0\implies y+1>0\implies y>-1$$Das ist die Halbebene oberhalb der Geraden \(y=-1\) ohne Rand, das heißt \((y=-1)\) selbst gehört nicht dazu. Das heißt, wir haben nur die obere Hälfte des Halbkreises zu berücksichtigen.

blob.png

Die Zahl \(z_1=0\), also der Punkt \((0|0)\), ist in \(M\) enthalten.

Die Zahl \((z_2=1-i)\), also der Punkt \((1|-1)\), ist nicht in \(M\) enthalten, da der "Rand" \((y=-1)\) ja nicht zu \(M\) gehört.

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Ich habe zu spät gesehen, dass die Frage ein Duplikat ist, daher habe ich meine Antwort noch unter dem Original gepostet, damit sie nicht verloren geht ;)

Die Zahl \(z_1=0\), also der Punkt \((0|0)\), ist in \(M\) enthalten.

Stellt sich im Nachhinein als überflüssig heraus.

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Nenne Re(z)=x und Im(z)=y, Zeichne dann im x-y-System:

blob.png

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Die erste Ungleichung lässt sich auch so schreiben:

| z - (-i) | ≤ 1

Die Punkte  z  , für welche sie zutrifft, bilden die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius 1 um das Zentrum  -i .

Zweite Ungleichung:

Im (z) > -1

Diese Ungleichung wird erfüllt durch alle Punkte der Gauß - Ebene, welche strikt oberhalb der Geraden  Im (z) > -1   liegen.  Diese Gerade ist parallel zur reellen Achse und halbiert die vorher genannte Kreisscheibe.

Die Lösungsmenge  M ist also die obere Hälfte der Kreisscheibe, wobei der obere Rand (Halbkreisbogen) des Halbkreises zu  M  dazuzählt, aber der untere Rand  (der horizontale Durchmesser) nicht.

z1  entspricht dem obersten Punkt der Halbkreisscheibe und gehört zu M

z2  entspricht dem rechten Endpunkt des unteren Randes von M und gehört natürlich nicht zu M (weil ja eben  Im(z)  strikt größer als -1 sein soll).

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