Wie würde man das Zeichnen?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wie würde man das Zeichnen?

Answer 1

Aloha :)

Schreibe \((z=x+iy)\) mit Realteil \(x\) und Imaginärteil \(y\):

$$|z+i|\le1\implies|x+iy+i|\le1\implies|x+i(y+1)|\le1\implies$$$$\sqrt{x^2+(y+1)^2}\le1\implies x^2+(y+1)^2\le1$$

Das ist die Fläche eines Kreises mit Mittelpunkt \((0|-1)\) und Radius \(1\).

$$\operatorname{Im}(z)+1>0\implies y+1>0\implies y>-1$$Das ist die Halbebene oberhalb der Geraden \(y=-1\) ohne Rand, das heißt \((y=-1)\) selbst gehört nicht dazu. Das heißt, wir haben nur die obere Hälfte des Halbkreises zu berücksichtigen.

Die Zahl \(z_1=0\), also der Punkt \((0|0)\), ist in \(M\) enthalten.

Die Zahl \((z_2=1-i)\), also der Punkt \((1|-1)\), ist nicht in \(M\) enthalten, da der "Rand" \((y=-1)\) ja nicht zu \(M\) gehört.

Comments

Ich habe zu spät gesehen, dass die Frage ein Duplikat ist, daher habe ich meine Antwort noch unter dem Original gepostet, damit sie nicht verloren geht ;)

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Die Zahl \(z_1=0\), also der Punkt \((0|0)\), ist in \(M\) enthalten.

Stellt sich im Nachhinein als überflüssig heraus.

Answer 2

Nenne Re(z)=x und Im(z)=y, Zeichne dann im x-y-System:

Answer 3

Die erste Ungleichung lässt sich auch so schreiben:

| z - (-i) | ≤ 1

Die Punkte  z  , für welche sie zutrifft, bilden die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius 1 um das Zentrum  -i .

Zweite Ungleichung:

Im (z) > -1

Diese Ungleichung wird erfüllt durch alle Punkte der Gauß - Ebene, welche strikt oberhalb der Geraden  Im (z) > -1   liegen.  Diese Gerade ist parallel zur reellen Achse und halbiert die vorher genannte Kreisscheibe.

Die Lösungsmenge  M ist also die obere Hälfte der Kreisscheibe, wobei der obere Rand (Halbkreisbogen) des Halbkreises zu  M  dazuzählt, aber der untere Rand  (der horizontale Durchmesser) nicht.

z₁  entspricht dem obersten Punkt der Halbkreisscheibe und gehört zu M

z₂  entspricht dem rechten Endpunkt des unteren Randes von M und gehört natürlich nicht zu M (weil ja eben  Im(z)  strikt größer als -1 sein soll).