Beweis des Grenzwertes

Question

Aufgabe:

Grenzwert Beweis

Hallo, ich muss zeigen, dass für lim n->unendlich n^k*q^n= 0 und |q| <1. k ist Element aus N*.

Problem/Ansatz:

Ich muss das so machen, dass ich |n^k*q^n| mit r<1 abschätze und den lim n-> unendlich die n-te Wurzel aus n^k = 1 als direkte Folge aus dem obigen Grenzwert verwende.

Ich habe da aktuell gar keine Ahnung, wie man da am besten vorgeht, bzw wie der Ansatz lautet

Comments

ich muss zeigen, dass für lim n->unendlich n^k*qⁿ= 0 und |q| <1.

Der Satz ergibt keinen Sinn, weil der Nebensatz "dass für lim n->unendlich n^k*qⁿ= 0 und |q| <1." kein Prädikat.

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Tut mir leid, ich habe mich vertippt:

Ich muss limn→∞ n^kq^n = 0 für |q| < 1, k ∈ N* zeigen, indem ich |n^kq^n| < r^n mit r < 1 abschätze und limn→∞ die n-te Wurzel aus n^k = 1 als direkte Folge aus den
obigen Grenzwert verwende

Answer 1

Ich verstehe deine Aufgabe so:

Es soll \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k} = 1\) benutzt werden, um \(|n^kq^n|\) geeignet abzuschätzen:

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k|q|^n} = |q|\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k}= |q| < 1$$

Setze \(\boxed{r= |q| +\frac{1-|q|}2}\). Dann ist \(0\leq |q| <r<1\) und es gibt aufgrund des obigen Grenzwertes ein \(N_r\), so dass für alle \(\boxed{n\geq N_r}\) gilt:

$$|\sqrt[n]{n^k}q|< r\Rightarrow |n^kq^n|<r^n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$$

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In der dritten Zeile ist \(|\sqrt[n]{n^kq^n}|\) gemeint oder?

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Fast. Gut gesehen. Danke. Betrag muss mit unter die Wurzel.

Answer 2

Hallo :-)

Man kann dieses Problem auch auf Konvergenz von Reihen zurückführen.

Betrachte die Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty n^k\cdot q^n\) mit \(a_n:=n^k\cdot q^n,|q|<1,k\in \N\). Mit dem Wurzelkriterium kann man nun prüfen, ob die Reihe konvergiert.

Betrachte also \(\limsup\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\limsup\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|n^k\cdot q^n|}\stackrel{(*)}{=}|q|\cdot \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n^k}=|q|<1\), sodass die Reihe konvergiert. Weil die Reihe konvergiert, ist nach dem notwendigen Kriterium zur Konvergenz von Reihen die Folge \(a_n\) eine Nullfolge. Es folgt also \(\lim\limits_{n\to \infty }a_n=0.\)

\((*) \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n^k}=1.\)

Ansonsten hier mein voriger Ansatz, ohne Kenntnis vom Grenzwert \(\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n^k}=1\) zu haben:

https://www.mathelounge.de/1019448/zeigen-sie-dass-lim-n-n-k-q-n-0-fur-q-1

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Danke an alle : )