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Aufgabe:

Grenzwert Beweis

Hallo, ich muss zeigen, dass für lim n->unendlich nk*qn= 0 und |q| <1. k ist Element aus N*.


Problem/Ansatz:

Ich muss das so machen, dass ich |nk*qn| mit r<1 abschätze und den lim n-> unendlich die n-te Wurzel aus nk = 1 als direkte Folge aus dem obigen Grenzwert verwende.

Ich habe da aktuell gar keine Ahnung, wie man da am besten vorgeht, bzw wie der Ansatz lautet

Avatar von
ich muss zeigen, dass für lim n->unendlich nk*qn= 0 und |q| <1.

Der Satz ergibt keinen Sinn, weil der Nebensatz "dass für lim n->unendlich nk*qn= 0 und |q| <1." kein Prädikat.

Tut mir leid, ich habe mich vertippt:

Ich muss limn→∞ nkq^n = 0 für |q| < 1, k ∈ N* zeigen, indem ich |nkq^n| < rn mit r < 1 abschätze und limn→∞ die n-te Wurzel aus nk = 1 als direkte Folge aus den
obigen Grenzwert verwende

2 Antworten

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Ich verstehe deine Aufgabe so:

Es soll limnnkn=1\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k} = 1 benutzt werden, um nkqn|n^kq^n| geeignet abzuschätzen:

limnnkqnn=qlimnnkn=q<1\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k|q|^n} = |q|\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k}= |q| < 1

Setze r=q+1q2\boxed{r= |q| +\frac{1-|q|}2}. Dann ist 0q<r<10\leq |q| <r<1 und es gibt aufgrund des obigen Grenzwertes ein NrN_r, so dass für alle nNr\boxed{n\geq N_r} gilt:

nknq<rnkqn<rnn0|\sqrt[n]{n^k}q|< r\Rightarrow |n^kq^n|<r^n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0

Avatar von 12 k

In der dritten Zeile ist nkqnn|\sqrt[n]{n^kq^n}| gemeint oder?

Fast. Gut gesehen. Danke. Betrag muss mit unter die Wurzel.

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Hallo :-)

Man kann dieses Problem auch auf Konvergenz von Reihen zurückführen.

Betrachte die Reihe n=0nkqn\sum\limits_{n=0}^\infty n^k\cdot q^n mit an : =nkqn,q<1,kNa_n:=n^k\cdot q^n,|q|<1,k\in \N. Mit dem Wurzelkriterium kann man nun prüfen, ob die Reihe konvergiert.

Betrachte also lim supnann=lim supnnkqnn=()qlimnnkn=q<1\limsup\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\limsup\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|n^k\cdot q^n|}\stackrel{(*)}{=}|q|\cdot \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n^k}=|q|<1, sodass die Reihe konvergiert. Weil die Reihe konvergiert, ist nach dem notwendigen Kriterium zur Konvergenz von Reihen die Folge ana_n eine Nullfolge. Es folgt also limnan=0.\lim\limits_{n\to \infty }a_n=0.

()limnnkn=1.(*) \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n^k}=1.

Ansonsten hier mein voriger Ansatz, ohne Kenntnis vom Grenzwert limnnkn=1\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n^k}=1 zu haben:

https://www.mathelounge.de/1019448/zeigen-sie-dass-lim-n-n-k-q-n-0-f…

Avatar von 15 k

Danke an alle : )

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