g•f ohne mehrdimensionale Kettenregel berechnen

Question

Aufgabe:

Betrachten die Funktionen

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \quad f(x, y)=\left(\begin{array}{c} x^{2} \\ y \\ x+y \\ x y \end{array}\right) \quad \text { und } \quad g: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad g(w, x, y, z)=\left(\begin{array}{c} \sin (w x) \\ \cos (y z) \\ e^{x+y+z+w} \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Es soll \( (g \circ f)^{\prime}(1,0) \) ohne Verwendung der mehrdimensionalen Kettenregel berechnet werden - wie geht das?

Answer 1

Aloha :)

Um \((g\circ f)(x;y)\) ohne Verwendung der Kettenregel abzuleiten, kannst du die Funktion \(f\) in \(g\) einsetzen und dir eine gleichwertige neue Funktion \(h(x;y)\) definieren:$$h(x;y)=(g\circ f)(x;y)=g(f_1(x;y);f_2(x;y);f_3(x;y);f_4(x;y))=g(x^2;y;x+y;xy)$$$$\phantom{h(x;y)}=\left(\begin{array}{c}\sin(x^2\cdot y)\\\cos((x+y)\cdot xy)\\e^{y+(x+y)+xy+x^2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sin(x^2\cdot y)\\\cos(x^2y+xy^2)\\e^{x+2y+xy+x^2}\end{array}\right)$$

Die Ableitung ist nun einfach die Jacobi-Matrix von \(h(x;y)\). Diese enthält die Gradienten der einzelnen Koordintenfunktionen jeweils als Zeilenvektoren:$$D(g\circ f)(x;y)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}h_1(x;y)\\\operatorname{grad}h_2(x;y)\\\operatorname{grad}h_3(x;y)\end{pmatrix}$$

Die Freude am Ausrechnen der Gradienten und das anschließende Einsetzen des Punktes \((x;y)=(1;0)\) überlasse ich dir...

Comments

Vielen Dank für deine Erklärung ☺

grad h₁= \( \begin{pmatrix} 2xycos(x^{2}y)\\ x^{2}cos(x^{2}y) \end{pmatrix} \)
Da setz ich dann (1,0) ein (und dann halt bei grad h₂ und grad h₃)?

---

Dieser Gradient ist die erste Zeile der Jacobi-Matrix.

Wenn du die beiden anderen Gradienten noch bestimmt hast, erhältst du eine Matrix mit 3 Zeilen und 2 Spalten.

In diese \(3\times2\)-Matrix setzt du dann \((x;y)=(1;0)\) ein und gibst als Ergebnis auch wieder eine \(3\times2\)-Matrix an.

---

Alles klar - Danke