Ist f injektiv/surjektiv?

Question

Aufgabe:

matrix

Gegeben sei:

\( f:\mathbb{C}^3 \mapsto \mathbb{C}^2;\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 3ic\\b-2a \end{pmatrix}\)

Problem/Ansatz:

Ist f injektiv/surjektiv?

Answer 1

Da \(3=\dim(\ker(f))+\dim(im(f))\) und \(\dim(im(f))\leq 2\)

ist \(\dim(\ker(f))>0\), also \(f\) nicht injektiv.

Den Nachweis der Surjektivität überlasse ich dir.

Answer 2

nicht injektiv, weil z.B.

\( f(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 0,5\\0\\0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix}\)

surjektiv: Sei \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^2\).Suche \( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^3\) mit

x=3ic  und y = b-2a.

Das geht mit \( c=\frac{x}{3i} \) und a=0 und b=y.