Trigonometrische Funktionen: Wieso veranschaulicht die Grafik den Zusammenhang, dass sin(x) = -sin(-x) gilt, bzw …

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Trigonometrische Funktionen: Wieso veranschaulicht die Grafik den Zusammenhang, dass sin(x) = -sin(-x) gilt, bzw. cos(x) = cos(-x) ?

Denn wenn ich bspw. den Sinus(30°) berechne, erhalte ich, dass das blaue Dreieck bzw x=0.5 ist. Wenn ich allerdings -sin(-30°), rechne, erhalte ich x=0.5, obwohl der x-Wert für Sinus negativ ist im roten Dreieck. Worauf ich hinaus will ist, dass ich so oder so nur das blaue Dreieck erhalte, aber niemals den Wert für das rote Dreieck. Daher frage ich mich wieso in dem Mathebuch behauptet wird, dass die Gleichung sin(x) = -sin(-x) der Grafik entsprechen soll.

Answer 1

Hallo,

deine Achsenbeschriftung ist missverständlich. x ist nicht ein Wert auf der waagerechten Achse, sondern der Winkel zwischen der positiven waagerechten Achse und dem Zeiger, wobei der Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn läuft.

Ich nehme an, dass der Radius des Kreises 1 ist.

Beim blauen Dreieck ist die Länge der kurzen Kathete gleich dem Sinus des Winkels x, der am Ursprung liegt. Sowohl x, als auch sin(x) sind positiv.

Das Dreiek wird an der waagerechten Achse gespiegelt und wird zum roten Dreieck.

Beim roten Dreieck ist der Winkel im Uhrzeigersinn gedreht, also -x. Die kurze Dreiecksseite entspricht wieder dem Sinus, also sin(-x). Da die Seite nach unten zeigt, ist der Sinuswert negativ.

Also ist sin(-x)=-sin(x) bzw. sin(x)=-sin(-x).

Die waagerechten Katheten der Dreiecke sind beide gleich. Sie entsprechen dem cos(x) bzw. dem cos(-x). Daher gilt

cos(x)=cos(-x).

Nun noch zu deinem Beispiel.

sin(x)=-sin(-x)

x=30°

Linke Seite: sin30°=0,5

Rechte Seite: -sin(-30°)=-(-0,5)=0,5

Da beide Seiten der Formel den gleichen Wert 0,5 ergeben, ist kein Widerspruch zu erkennen.

:-)

PS:

Du schreibst x=0,5. Das ist falsch, da x der Winkel ist.

Comments

Danke für den Hinweis bzgl. der Beschriftung! Aber wieso muss ich den Term überhaupt erst negativ machen? Sprich wieso - sin(-x) anstatt sin(-x)? Denn mit -sin(-x) habe ich nur das blaue Dreieck abgedeckt, nicht aber das rote. D.h. eigentlich bräuchte ich dann doch 2 Gleichungen für die Grafik.

1.) sin(x) = -sin(-x) für das blaue Dreieck

2.) sin(-x) = -sin(x) für das rote Dreieck

Wieso steht dann aber in der Lösung, dass die Gleichung sin(x) = -sin(-x) das Ergebnis ist. Die Lösung ist dann doch so nicht vollständig?

---

sin(-x) wird durch das rote Dreieck dargestellt, sin(x) durch das blaue.

Das Minuszeichen am Anfang von -sin(-x) spiegelt das rote Dreieck auf das blaue, sodass

-sin(-x)=sin(x) ist.

Answer 2

sin30° = 0,5

sin(-30°) = -0,5

- (-0,5) = 0,5 = sin30°