Gilt \exp (2 x) \exp (x) für alle x ∈ ℝ \backslash\{0\}?

Question

Text erkannt:

Gilt \( \exp (2 x)>\exp (x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} ? \)
1. Ja, weil sowohl exp als auch \( x \mapsto 2 x \) streng monoton wachsend sind.
2. Ja, weil die Exponentialfunktion durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann.
3. Nein, weil für negative \( x \) die Ungleichung \( \exp (2 x)<\exp (x) \) gilt.
\( \mathrm{b} / \mathrm{w} \)
4. Nein, weil die Exponentialfunktion auf dem Bereich \( (-\infty, 0) \) streng monoton fallend ist.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ungleichung mit Exponentialfunktion

Comments

und ? Deine Vermutung?

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Die Aussage ist Nummer 3 ist wahr

\[ \exp(2x) - \exp(x) < 0 \]

Um diese Ungleichung zu lösen, können wir eine Substitution einführen. Setzen wir \( y = \exp(x) \), erhalten wir:

\[ \exp(2x) - \exp(x) = y^2 - y \]

Jetzt können wir die Ungleichung \( y^2 - y < 0 \) betrachten
\[ y(y-1) < 0 \]

\( y \) und \( y-1 \). Da \( y = \exp(x) \) ist und für negative \( x \) gilt \( \exp(x) < 1 \), haben wir:

\[ y < 0 \quad \text{und} \quad y-1 > 0 \]

Da \( y \) das Ergebnis einer Exponentialfunktion ist, kann es niemals negativ sein. Daher ist die Ungleichung \( y < 0 \) nicht erfüllt. Folglich ist die Ungleichung \( \exp(2x) < \exp(x) \) für negative \( x \) wahr.