Zeigen Sie, dass dann |f(x)| |x| für alle x ∈ ℝ \backslash\{0\} gilt.

Question

Aufgabe (i) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar mit \( f(0)=0 \), und es gelte \( \left|f^{\prime}(x)\right|<1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass dann \( |f(x)|<|x| \) für alle \( x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) gilt.
Tipp: Mittelwertsatz oder Schrankensatz
(ii) Beweisen Sie die Ungleichung \( \tan x>x \) für \( x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \).
Tipp: Beispiel 16.4.9 und Mittelwertsatz oder Schrankensatz
(iii) Sei \( f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar mit \( f=f^{\prime} \). Zeigen Sie, dass ein \( c \in \mathbb{R} \) existiert, so dass \( f(x)=c e^{x} \) für alle \( x \in(a, b) \) ist.

Answer 1

(i)  mit Mittelwertsatz für \(x>0\):$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^\prime(c)\implies f(x)=x\cdot f^\prime(c)\implies\lvert f(x)\rvert=\lvert x\rvert\cdot\underbrace{\lvert f^\prime(c)\lvert}_{<1}<\lvert x\rvert.$$(ii)  auch mit Mittelwertsatz: Bekanntlich ist \(\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan x=1+\tan^2x\).$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^\prime(c)\implies f(x)=x\cdot f^\prime(c)\implies\tan x=x\cdot(\underbrace{1+\tan^2c}_{>1})>x.$$(iii)  Definiere eine Funktion \(h\colon(a,b)\to\R\) durch \(h(x)\coloneqq\mathrm e^{-x}\cdot f(x)\).
Die Funktion ist offenbar differenzierbar und es ist$$h^\prime(x)=-\mathrm e^{-x}\cdot f(x)+\mathrm e^{-x}\cdot f^\prime(x)=\mathrm e^{-x}\cdot\big(\underbrace{f^\prime(x)-f(x)}_{=0}\big)=0.$$Daher existiert eine Konstante \(c\in\R\) mit \(h(x)=c\). Daraus folgt \(f(x)=c\cdot\mathrm e^x\).