Aufgabe (i) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar mit \( f(0)=0 \), und es gelte \( \left|f^{\prime}(x)\right|<1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass dann \( |f(x)|<|x| \) für alle \( x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) gilt.
Tipp: Mittelwertsatz oder Schrankensatz
(ii) Beweisen Sie die Ungleichung \( \tan x>x \) für \( x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \).
Tipp: Beispiel 16.4.9 und Mittelwertsatz oder Schrankensatz
(iii) Sei \( f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar mit \( f=f^{\prime} \). Zeigen Sie, dass ein \( c \in \mathbb{R} \) existiert, so dass \( f(x)=c e^{x} \) für alle \( x \in(a, b) \) ist.