Aloha :)
Es gibt zwei wesentliche Methoden, die ihr vermutlich in der Vorlesung als "Satz" bzw. als "Formel" hattet. Da ich nicht in der Vorlesung war, schreibe ich dir die beiden Wege auf. Du wirst dann sicherlich erkennen können, was der "Satz" und was die "Formel" ist.
Für beide Methoden brauchen wir die Ableitung von \(\tanh(x)\):$$\tanh'(x)=\left(\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\right)'=\left(\frac{\overbrace{e^x-e^{-x}}^{=u}}{\underbrace{e^x+e^{-x}}_{=v}}\right)'$$$$\phantom{\tanh'(x)}=\frac{\overbrace{(e^x+e^{-x})}^{=u'}\overbrace{(e^x+e^{-x})}^{=v}-\overbrace{(e^x-e^{-x})}^{=u}\overbrace{(e^x-e^{-x})}^{=v'}}{\underbrace{(e^x+e^{-x})^2}_{=v^2}}$$$$\phantom{\tanh'(x)}=\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}=1-\frac{(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}=1-\tanh^2(x)$$
Methode 1:
Die erste Methode basiert darauf, dass eine Funktion und ihre Umkehrfunktion ihre Wirkung für alle \(x\) aus dem jeweiligen Definitionsbereich gegenseitig aufheben:$$\tanh(\pink{\operatorname{artanh}(x)})\equiv x$$Da es sich hierbei um eine Identität handelt, müssen auch die Ableitungen der rechten und der linken Seite gleich sein. Die linke Seite leiten wir mit Hilfe der Kettenregel ab, lassen aber die Ableitung der pinken, inneren Funktion als solche stehen:$$\underbrace{\left(1-\tanh^2(\pink{\operatorname{artanh}(x)})\right)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot \underbrace{\pink{\operatorname{artanh}'(x)}}_{\text{innere Abl.}}=1$$$$(1-x^2)\cdot\pink{\operatorname{artanh}'(x)}=1$$$$\pink{\operatorname{artanh}'(x)}=\frac{1}{1-x^2}$$
Methode 2:
$$y(x)=\operatorname{artanh}(x)\quad\implies\quad x(y)=\tanh(y)$$$$y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{d}{dy}\tanh(y)}=\frac{1}{1-\tanh^2(y)}=\frac{1}{1-x^2}$$
