Bestimme eine Parametrisierung der Faser von f über über w:

Question

Aufgabe:

\( \text { Gegeben sei } f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},^{t}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto^{t}\left(-x_{1}+x_{2}, 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3},-4 x_{1}+3 x_{3}\right) \text {. } \)
a) Zeige, dass \( f \) eine lineare Abbildung ist.

b) Gib eine Basis von \( \operatorname{ker}(f) \) sowie von \( \operatorname{im}(f) \) an.

c) Bestimme eine Parametrisierung der Faser von \( f \) über \( w={ }^{t}(0,1,-4) \).

Problem/Ansatz:

Teilaufgaben a und b habe ich bereits gelöst - c verstehe ich allerdings überhaupt nicht (was zu tun ist - zur Faser steht nicht wirklich was in unserem Skript)

Comments

Kann mir noch jemand erklären, wie ich die Parametrisierung, vom Ergebnis c), angebe.

Answer 1

Die Faser über \(w\) ist die Menge \(f^{-1}(w)\), also

die Lösungsmenge des LGS

\(-x_1+x_2 = 0\)
\(2x_1-x_2+3x_3=1\)
\(-4x_1+3x_3=-4\)

Comments

Aha - verstehe. Danke vielmals ☺

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Noch eine Frage:

Die Lösung lautet ja:

\( \begin{aligned}-1 \cdot x_{1}+x_{2} & =0 \\ x_{2}+3 \cdot x_{3} & =1 \\ 15 \cdot x_{3} & =8\end{aligned} \)

\( \begin{array}{l}x_{1}=\frac{-3}{5} \\ x_{2}=\frac{-3}{5} \\ x_{3}=\frac{8}{15}\end{array} \)

Aber wie gebe ich nun die Parametrisierung an (bzw. was ist das eigentlich geneu?)