Zeigen Sie für ungerade Funktionen, dass das integral von -a bis a 0 ergibt

Question

Aufgabe: Sei \( f:[-a, a] \rightarrow \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}_{>0} \), eine stetige Funktion, für die \( -f(x)=f(-x) \) für all \( x \in \mathbb{R} \) gilt. Eine solche Funktion nennt man ungerade.
a) Zeigen Sie, dass \( \int \limits_{-a}^{a} f(x) d x=0 \) gilt, in dem Sie
\( \int \limits_{-a}^{c} f(x) d x=-\int \limits_{c}^{a} f(x) d x \)

Problem/Ansatz: Ich habe beide Integrale aufgelöst, aber komme da auf unterschiedliche Ergebnisse bzw. nicht weiter

also das erste integral ist ja: F(c) - F(-a) = F(c) + F(a)

und das zweite ist = -(F(a) - F(c)) = F(c) + F(-a)

Comments

Hallo

mit einem c als Grenze statt 0 ist das ja auch im Allgemeinen falsch. Statt c sollte da 0 stehen.

lul

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Aber so war die Aufgabenstellung, man soll es für alle c aus (a,-a) zeigen.

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alles klarrrrr

Answer 1

Hallo

du hast recht. Dein Fehler : F(-a)≠-F(a)

Vielleicht überprüfst du dein Ergebnis mal mit einer der einfachsten ungeraden Funktionen f(x)=x oder f(x)=x^3, F(x) ist eine gerade Funktion !

ist euch bekannt \( \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \)=- \( \int\limits_{b}^{a} f(x)dx\) sonst folgt das aus der Riemansumme.

Gruß lul

Comments

Achso ja, habe es jetzt hinbekommen durch deinen Hinweis, vielen dank

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Hey wir sollen dann noch mit der identität zeigen, dass es nicht für uneigentliche integrale gilt: kann man das so argumentieren:
Betrachte ld \( (x), x \mapsto x \) auf \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d x \)
\( Z_{z}: \int \limits_{-a}^{c} f(x) d x+\int \limits_{c}^{a} f(x) d x=0 \) f.a. \( c \in(-a, a) \) ex. nicht
Betrachte: \( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left(\int \limits_{a}^{c} x d x\right)+\lim \limits_{a \rightarrow+\infty}\left(\int \limits_{c}^{a} x d x\right) \). Sei c \( =0 \) so gilt:
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left(\int \limits_{-\infty}^{0} x d x\right)+\lim \limits_{a \rightarrow+\infty}\left(\int \limits_{0}^{a} x d x\right) \Rightarrow \) Grenzwert ex. nicht, divergiert

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Hallo

ja ein Gegenbeispiel zeigt, dass die Behauptung nicht gilt.

Gruß lul

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Ja das ist mir klar, wollte nur wissen, ob der Gedankengang stimmt

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Hallo

ja, aber das gilt auch mit den Grenzen c

ich würde explizit  von -a bis c usw integrieren und dann die Divergenz zeigen.

Gruß lul

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Achso okay, dachte nur, weil es für alle c gelten muss, dass man einfach es für ein c zeigt zwischen -a,a, also hier unendlich und -unendlich