Kovarianz von X,Y berechnen

Question

Seien X,Y zwei Zufallsvariablen mit Var(X)=1, Var(Y)=2, ρ(X,Y)=0,5.

Man soll Cov(X+Y,X-Y) bestimmen. Weil die Kovarianz eine Bilinearform ist können wir ja die Additivität ausnutzen , also Cov(X+Y,X-Y)= Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y). Ich würde nur gerne wissen, ob der Ansatz korrekt ist

Answer 1

der  Ansatz ist korrekt. Cov(X+Y,X-Y)= Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y). Danach kann man die Kovarianzen Cov(X,X-Y) und Cov(Y,X-Y) aufteilen und mit den Eigenschaften der Kovarianz weiterrechnen, um schließlich ein Ergebnis zu erhalten.

Answer 2

Aloha :)

Dein Ansatz ist korrekt. Da die Covarianz eine Bilinearform ist und obendrein noch vertauscht, \(\operatorname{Cov}(A;B)=\operatorname{Cov}(B;A)\), kannst du praktisch sogar einfach nach dem Distriubutivgesetz ausmultiplizieren. Dazu sei \(\circ\) der Operator für die Kovarianz, dann gilt:$$(X+Y)\circ(X-Y)=X\circ(X-Y)+Y\circ(X-Y)$$$$\phantom{(X+Y)\circ(X-Y)}=X\circ X-X\circ Y+Y\circ X-Y\circ Y$$$$\phantom{(X+Y)\circ(X-Y)}=X\circ X-Y\circ Y$$

Das heißt:$$\operatorname{Cov}(X+Y;X-Y)=\operatorname{Cov}(X;X)-\operatorname{Cov}(Y;Y)=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y)=-1$$