Aloha :)
Du kennst doch bestimmt die Formel für die Tangente an einer Stelle \(x_0\) für eine Funktion \(f(x)\), die nur von einer Variablen abhängt:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Dieses Prinzip kann man auf Funktionen \(f(x;y)\), die von mehreren Variablen abhängen, übertragen:$$z(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$
Für die gegebene Funktion und den Entwicklungspunkt \((x_0;y_0)=(1;\frac\pi2)\) heißt das:$$f(x;y)=x^2\sin(y)\implies f\left(1;\frac\pi2\right)=1$$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2x\sin(y)}{x^2\cos(y)}\implies\operatorname{grad}f\left(1;\frac\pi2\right)=\binom{2}{0}$$
Wir bauen uns die Tangentialebene zusammen:$$z(x;y)=1+\binom{2}{0}\cdot\binom{x-1}{y-\frac\pi2}=1+2(x-1)=2x-1$$
Diese Ebene kannst du auch in Parameterform angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\2x-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$
