Berechnen Sie für die vorliegende Funktion die Tangentialebene.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

(Satz von Taylor) Berechnen Sie für die Funktion $f(x ; y)=x^{2} \sin (y)$ die Tangentialebene (d.h. die Entwicklung der Funktion mit Hilfe des Satzes von Taylor bis zum 1. Grad) um den Entwicklungspunkt $\vec{x}_{0}=\left(1 ; \frac{\pi}{2}\right)^{T}$.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Comments

Wenn du 7 Fragen hintereinander in 20 Minuten fragst entsteht der Eindruck du machst dir zu wenig Gedanken über eine Lösung und möchtest nur einen Schussel haben der deine Aufgaben erledigt.

Answer 1

Aloha :)

Du kennst doch bestimmt die Formel für die Tangente an einer Stelle $x_0$ für eine Funktion $f(x)$, die nur von einer Variablen abhängt:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Dieses Prinzip kann man auf Funktionen $f(x;y)$, die von mehreren Variablen abhängen, übertragen:$$z(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$

Für die gegebene Funktion und den Entwicklungspunkt $(x_0;y_0)=(1;\frac\pi2)$ heißt das:$$f(x;y)=x^2\sin(y)\implies f\left(1;\frac\pi2\right)=1$$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2x\sin(y)}{x^2\cos(y)}\implies\operatorname{grad}f\left(1;\frac\pi2\right)=\binom{2}{0}$$

Wir bauen uns die Tangentialebene zusammen:$$z(x;y)=1+\binom{2}{0}\cdot\binom{x-1}{y-\frac\pi2}=1+2(x-1)=2x-1$$

Diese Ebene kannst du auch in Parameterform angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\2x-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Answer 2

$T(x,y)=f(1,\pi/2)+f_x(1,\pi/2)(x-1)+f_y(1,\pi/2)(y-\pi/2)$.

Es ist $f_x(x,y)=2x\sin(y),\; f_y(x,y)=x^2\cos(y)$.

Nun alles einsetzen -> fertig!

Der Graph von $T$  ist die Tangentialebene.