Berechnen Sie eine Näherung an 1,05^(1,02) im Punkt (1, 1)

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man eine Näherung mittels Taylorpolynom im mehrdimensionalen?

Problem/Ansatz:

Gegeben sei g(x,y)= x^y

Berechnen Sie eine Annäherung an1,05^(1,02) im Punkt (1,1)

Wenn ich sowohl den Gradienten als auch die Hessematrix von g bestimmt habe, wie geht es weiter

Answer 1

Ich bin nicht ganz sicher ob das so hinhaut. Macht aber grafisch und auch vom Wert her Sinn.

f' ist der Gradient und f'' ist hier die Hessematrix

Damit komme ich auf folgende

g(x, y) = f(1, 1) + f'(1, 1)·[x - 1, y - 1] + 1/2·[x - 1, y - 1]·f''(1, 1)·[x - 1; y - 1] = x·y - y + 1

g(1.05, 1.02) = 1.051

Zum Vergleich

f(1.05, 1.02) = 1.051025093

Comments

Sollte nicht vor dem Term 2ter Ordnung ein Faktor 0.5 stehen? Und ist f(1,1)=2?

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f(1, 1) ist doch 1^1 = 1

Ja richtig. Da sollte der Faktor 1/2 davor stehen. Ich werde das noch korrigieren.

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ok, vielen Dank, und wie zeige, ich dass der Fehler der Näherung  kleiner ist als 7 · 10^−5? muss ich dafür den rest ausrechnen und abschätzen
.

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Mit dem Taylorpolynom abschätzen, müsstest du jetzt das Restglied abschätzen.

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Evtl. darf man hier auch einfach mit dem Taschenrechner die Näherung mit dem Originalwert vergleichen.