Wie groß ist der Erwartungswert E der Trefferzahl X?

Question

Aufgabe:

Karl trifft beim Zielschießen auf die Torwand in 60% der Fälle. X sei die Anzahl der Treffer bei einer Schusserie.

a) Karl schießt zehnmal auf die Torwand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die folgenden Ereignisse ein

A: Karl erzielt genau 6 Treffer

B: Karl erzielt mindestens 8 Treffer

C: Karl erzielt 5 bis 7 Treffer

b) Karl schießt 100 mal auf die Torwand. Wie groß ist der Erwartungswert E der Trefferzahl X?

c) Karl und Peter schießen abwechselnd auf die Torwand, wobei Karl beginnt. Die Trefferwahrscheinlichkeit von Peter beträgt 50%. Das Spiel ist beendet, wenn jeder zwei Schüsse abgegeben hat. Gewonnen hat derjenige, der die meisten Treffer erzielt hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Karl? Verwenden Sie ein verkürztes Baumdiagramm.

Problem/Ansatz:

zu a)

P(X=6)

P(X <= 8)

P(5 <=X <=7)= P(X=7)-P(X<=4)

b) E= n*p= 100*0.6

c) Keine Ahnung

Answer 1

Karl trifft beim Zielschießen auf die Torwand in 60% der Fälle. X sei die Anzahl der Treffer bei einer Schusserie.

a) Karl schießt zehnmal auf die Torwand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die folgenden Ereignisse ein

A: Karl erzielt genau 6 Treffer

(10über6)*0,6^6*0,4^4

B: Karl erzielt mindestens 8 Treffer

= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)

C: Karl erzielt 5 bis 7 Treffer

= P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)

Answer 2

Karl trifft beim Zielschießen auf die Torwand in 60% der Fälle. X sei die Anzahl der Treffer bei einer Schusserie.

a) Karl schießt zehnmal auf die Torwand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die folgenden Ereignisse ein

A: Karl erzielt genau 6 Treffer

P(X = 6) = (10 über 6)·0.6^6·0.4^4 = 0.2508

B: Karl erzielt mindestens 8 Treffer

P(X >= 8) = ∑ (x = 8 bis 10) ((10 über x)·0.6^x·0.4^(10 - x)) = 0.1673

C: Karl erzielt 5 bis 7 Treffer

P(5 <= X <= 7) = ∑ (x = 5 bis 7) ((10 über x)·0.6^x·0.4^(10 - x)) = 0.6665

b) Karl schießt 100 mal auf die Torwand. Wie groß ist der Erwartungswert E der Trefferzahl X?

E(X) = n·p = 100·0.6 = 60

c) Karl und Peter schießen abwechselnd auf die Torwand, wobei Karl beginnt. Die Trefferwahrscheinlichkeit von Peter beträgt 50%. Das Spiel ist beendet, wenn jeder zwei Schüsse abgegeben hat. Gewonnen hat derjenige, der die meisten Treffer erzielt hat.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Karl? Verwenden Sie ein verkürztes Baumdiagramm.

Ich mache das Baumdiagramm so dass Karl seine Schüsse als erstes abgibt. Dann ist etwas geschickter zu rechnen. Da eh jeder 2 Schüsse abgibt ist die Reihenfolge eh egal.

P(Karl gewinnt) = (2·0.6·0.4)·(0.5·0.5) + (0.6·0.6)·(3·0.5·0.5) = 0.39