Erwartungswert Trefferzahl

Question

In einem Onlinespiel gibt es eine Waffe, die bei jedem Schlag eine (konstante) Trefferchance p_h und eine Bruchchance p_b hat. Die Ereignisse "Treffer" und "Bruch" seien dabei unabhängig voneinander.

 

Wie hoch ist der Erwartungswert der Treffer, wenn eine Person mit der Waffe schlägt bis sie kaputt ist?

 

(augenscheinlich simple Frage, ich konnte sie aber offenbar trotz zweier Statistikmodule an der Uni nach Stunden immer noch nicht korrekt Lösen - mein Ergebnis scheint mir nicht plausibel zu sein)

Comments

welches Ergebnis hast du ermittelt? Nur Mut, reißt dir keiner hier den Kopf ab

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Wahrscheinlichkeit für genau n Schläge bis zum Bruch: $$P(N=n)=p_b^{n-1}(1-p_b)$$Erwartungswert für h Treffer bei n Schlägen:$$E(H=h|N=n)=n*p_h$$
Erwartungswert für h Treffer ohne Bedingung:$$E(H=h)=\sum_{n=1}^{\infty}{E(H=h|N=n)*P(N=n)}=\sum_{n=1}^{\infty}{p_b^{n-1}(1-p_b)n*p_h}=...=\frac{p_h}{1-p_b}$$Da dieser Erwartungswert aber mit steigender Bruchwahrscheinlichkeit steigen würde, liegt die Vermutung nahe dass es falsch ist ;)

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Hier meine Idee zur Rechnung:

∑ (n = 0 bis ∞) ph*(1 - pb)^n = ph/(1 - (1 - pb)) = ph/pb

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Das Ergebnis passt zu ner schnellen Simulation, aber ich verstehe noch nicht ganz wie man da drauf kommt.

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OK, denke jetzt konnte ich es nachvollziehen.

Zunächst hatte ich oben nen Fehler drin, bei P(N=n) hab ich pb und (1-pb) vertauscht, was natürlich zu falschen Ergebnissen führt.

Der Ansatz E(H)=E(N)*P(N=n) führt aber zum gewünschten Ergebnis auf obigen Rechenweg (vom Mathecoach) :) Danke^^

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ja macht Sinn, denn wenn die Raten gleich wären, ergäbe sich ein Wert von 1

Answer 1

Dann schreibe ich meines mal alt offizielle Antwort

∑ (n = 0 bis ∞) p_h*(1 - p_b)^n = p_h/(1 - (1 - p_b)) = p_h/p_b