Berechnen Sie nun für alle m, n ∈ ℤ (Sinus und Cosinus)

Question

Aufgabe:

(c) Berechnen Sie nun für alle \( m, n \in \mathbb{Z} \)

\( \int \limits_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \sin (n x) d x \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht so ganz, was ich mit Cosinus und Sinus machen soll: Ich weiß, dass Cosinus eine ungerade und Sinus eine gerade Funktion sind, sodass sich eine Aufteilung anbieten würde.

Für -a bis a gilt ja, dass bei ungerade Funktionen 2F(a) bzw. 0 bis a verwendet wird und bei gerade 2*Integral von o bis a (Hier also bis Pi).

Muss ich hier einfach die partielle Integration verwenden, um das Integral zu berechnen?

Comments

mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

cos(mx) ist eine gerade (achsensymmetrische) Funktion

sin(nx) ist eine ungerade (punktsymmetrische) Funktion

Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion

Das Integral von -a bis a über eine ungerade Funktion ist 0. Damit ist das Integral einfach 0.

Answer 2

Aloha :)

Hier sind die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt herum verteilt.

Für solche Integrale gilt allgemein:$$\int\limits_{-a}^af(x)\,dx=\int\limits_0^a\left(f(x)+f(-x)\right)dx$$

In deinem konkreten Fall bedeutet das:$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\cos(mx)\sin(nx)\,dx=\int\limits_{0}^\pi\left(\cos(mx)\sin(nx)+\underbrace{\cos(-mx)}_{=\cos(mx)}\,\underbrace{\sin(-nx)}_{=-\sin(nx)}\right)dx$$$$\phantom I=\int\limits_{0}^\pi\left(\cos(mx)\sin(nx)-\cos(mx)\sin(nx)\right)\,dx=0$$