Wir haben dass $$\frac{1}{\sin^2 (x)}+\frac{1}{\cos^2 (x)}=\frac{cos^2(x)+\sin^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}=\frac{1}{\sin^2(x)\cos^2(x)}$$
Wir bekommen also folgendes $$\int \frac{1}{\sin^2(x)\cos^2(x)} dx=\int \left(\frac{1}{\sin^2 (x)}+\frac{1}{\cos^2 (x)}\right)dx=\int \frac{1}{\sin^2 (x)} dx+\int \frac{1}{\cos^2 (x)}dx$$
Wir berechnen jedes Integral getrennt: $$\int \frac{1}{\sin^2 (x)} dx=\int \frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{\frac{\sin^2 (x)}{\cos^2(x)}} dx=\int \frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{\tan^2(x)} dx$$ Wir berechnen dieses Integral mit Hilfe der Substitution. Wir setzen $$u=\tan x$$ Wir haben dann $$du=\frac{1}{\cos^2(x)}dx$$ Wir bekommen also $$\int \frac{1}{u^2}du=\int u^{-2}du=\frac{u^{-2+1}}{-2+1}=-\frac{1}{u}+c_1$$ Wir haben also dass $$\int \frac{1}{\sin^2 (x)} dx=-\frac{1}{\tan(x)}+c_1$$
$$\int \frac{1}{\cos^2 (x)}dx=\int \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2 (x)}dx=\int \left(1+\tan^2(x)\right)dx=\int \frac{d}{dx}\left(\tan (x)\right)dx=\tan (x)+c_2$$
Wir bekommen also $$\int \frac{1}{\sin^2(x)\cos^2(x)} dx=\int \frac{1}{\sin^2 (x)} dx+\int \frac{1}{\cos^2 (x)}dx=-\frac{1}{\tan(x)}+\tan (x)+C$$ wobei C=c
1+c
2.
