unabhängig Wahrscheinlichkeitsraum

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Wenn die Ereignisse \( A \) und \( B \) unabhängig bezüglich \( \mathbb{P} \) sind, dann sind auch
1. \( A^{c} \) und \( B, A \) und \( B^{c} \) unabhängig bezüglich \( \mathbb{P} \).
2. Sowie \( A^{c} \) und \( B^{c} \) unabhängig bezüglich \( \mathbb{P} \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

\(P\left(A^{\complement}|B\right)=\frac{\mathbb{P}\left(A^{\complement}\cap B\right)}{\mathbb{P}\left(B\right)}=\frac{\mathbb{P}\left(B\setminus\left(A\cap B\right)\right)}{\mathbb{P}\left(B\right)}\stackrel{A\cap B\subseteq B}{=}\frac{\mathbb{P}\left(B\right)-\mathbb{P}\left(A\cap B\right)}{\mathbb{P}\left(B\right)}=1-P\left(A|B\right)\)