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Betrachte die folgende Aussage und ihren vermeintlichen Beweis. Finde ein Gegenbeispiel. Gib an, wo der „Beweis“ fehlschlägt. Stelle dann eine zusätzliche topologische Forderung an \( X \) und formuliere und beweise die so korrigierte Aussage.
Es seien \( \left(X, d_{X}\right) \) und \( \left(Y, d_{Y}\right) \) metrische Räume sowie \( f_{n}: X \rightarrow Y \) und \( f: X \rightarrow Y \) stetige Funktionen derart, dass \( f_{n} \rightarrow f \) punktweise und dass für alle \( x \in X \) die Folge \( d_{Y}\left(f_{n}(x), f(x)\right) \) monoton fallend sei. Dann gilt \( f_{n} \rightarrow f \) im Sinne gleichmäßiger Konvergenz.
Beweis: Es sei \( \varepsilon>0 \). Zu jedem \( x \in X \) gibt es wegen der punktweisen Konvergenz ein \( n_{x} \in \mathbb{N} \) derart, dass \( d_{Y}\left(f_{n_{x}}(x), f(x)\right)<\frac{\varepsilon}{3} \). Zugehörig finden wir aufgrund der Stetigkeit von \( f_{n_{x}} \) und \( f \) eine offene Menge \( U_{x} \) mit \( x \in U_{x} \) so, dass \( d_{Y}\left(f_{n_{x}}(\xi), f_{n_{x}}(x)\right)<\frac{\varepsilon}{3} \) und \( d_{Y}(f(\xi), f(x))<\frac{\varepsilon}{3} \) für alle \( \xi \in U_{x} \) erfüllt ist.
Wir setzen nun \( n_{0}:=\max \left\{n_{x} \mid x \in X\right\} \) und betrachten ein beliebiges, festes \( m \in \mathbb{N} \) mit \( m>n_{0} \) sowie ein beliebiges \( \zeta \in X \). Im Folgenden sei \( x \) so gewählt, dass \( \zeta \in U_{x} \). Dann ist (wegen der vorausgesetzten Monotonie der Folge der Abstände, der Dreiecksungleichung und der Wahl von
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\( n_{0} \) bzw. \( \left.U_{x}\right) \)
\( \begin{aligned} d_{Y}\left(f_{m}(\zeta), f(\zeta)\right) & \leq d_{Y}\left(f_{n_{0}}(\zeta), f(\zeta)\right) \\ & \leq d_{Y}\left(f_{n_{0}}(\zeta), f_{n_{0}}(x)\right)+d_{Y}\left(f_{n_{0}}(x), f(x)\right)+d_{Y}(f(x), f(\zeta)) \\ & <\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon \end{aligned} \)
Insgesamt haben wir also
\( \forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall m>n_{0} \forall \zeta \in X: d_{Y}\left(f_{m}(\zeta), f(\zeta)\right)<\varepsilon \)
gezeigt und damit die behauptete gleichmäßige Konvergenz nachgewiesen.
Das habe ich bisher dazu aufgeschrieben:
Ein Gegenbeispiel: X = [0, 1] mit der Standardmetrik und den metrischen Raum Y = [0, 1] mit der diskreten Metrik und definiere die Funktionen fn: X → Y wie folgt:
fn(x) =
0, wenn x < 1/n
1, wenn x ≥ 1/n
Die Funktionen fn sind stetig, da sie konstante Funktionen auf den Intervallen [0, 1/n) bzw. [1/n, 1] sind. Die Punktkonvergenz fn → f ist erfüllt, da für jeden Punkt x ∈ X und jedes ε > 0 ein nx gefunden werden kann, sodass dY (fnx (x), f (x)) < 3ε gilt (wir können einfach nx = n wählen, da für x ≠ 0 immer fn(x) = 1 ist). Die Folge der Abstände dY (fn(x), f(x)) ist monoton fallend, da sie entweder 0 oder 1 ist, je nachdem, ob x < 1/n oder x ≥ 1/n ist.
Nun betrachten wir den Punkt x = 0. Für jedes m > n0 = n gilt fn0(x) = 1, f(x) = 0 und fm(x) = 0. Daher ist dY (fm(x), f(x)) = 1 > ε für ε < 1.
Das Gegenbeispiel zeigt, dass der Beweis fehlschlägt. Die Annahme, dass die Folge dY (fn(x), f(x)) monoton fallend ist, reicht nicht aus, um gleichmäßige Konvergenz zu garantieren.
Als topologische Forderung, damit der Beweis klappt, würde ich die Kompaktheit von X fordern.
Stimmen das alles soweit?
