Zeigen, dass Menge "unter" bzw. "über" dem stetigen Funktionsgraphen offen bzw. abgeschlossen ist

Question

Die Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion.
a) Zeigen Sie, dass die Menge \( \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y<f(x)\right\} \) offen in \( \left(\mathbb{R}^{2},|\cdot|_{2}\right) \) ist.
b) Zeigen Sie, dass die Menge \( \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right. \) | \( \left.y \leq f(x)\right\} \) abgeschlossen in \( \left(\mathbb{R}^{2},|\cdot|_{2}\right) \) ist.

Mein Problem ist, dass das zwar unglaublich einfach wirkt (man kann sich ja alles problemlos im Kopf vorstellen und das ergibt auch schön Sinn), ich aber keinerlei Ahnung habe, wie ich das zeigen soll...habe schon etwas herumprobiert mit Folgenkriterium etc., aber da kam nichts sinnvolles bei heraus.

Comments

Bezeichnet \(|x|_2\) die euklidische Norm?

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jep, die euklidische

Answer 1

Hallo,

ja, es geht nur darum, das, was man klar vor Augen sieht, zu formalisieren.

Ich nenne die erste Menge U aus a) , sei (a,b) ein Punkt in U. Ich bestimme einen Radius r>0 so dass die offene Kreisscheibe B((a,b),r) mit Mittelpunkt (a,b) ganz in U liegt. Sei s:=f(a)-b>0.

Wegen der Stetigkeit von f an der Stelle a gibt es ein t>0 mit

$$|a-x|<t \Rightarrow f(x)>f(a)-0.5s$$

Jetzt setze ich r:=min(t,0.5s),

Wenn nun (x,y) ein Punkt in B((a,b),r) ist, dann - ist zu zeigen - liegt (x,y) in U, d.h. es ist f(x)>y, Begründung:

$$|x-a| \leq |(x,y)-(a,b)|_2<r\leq t \Rightarrow f(x)>f(a)-0.5s$$

Also

$$y < b+r\leq b+0.5s=b+s-0.5s=f(a)-0.5s<f(x)$$

b) kann man über das Komplement lösen oder mit Hilfe der Folgen-Definition der Abgeschlossenheit.

Vielleicht wäre es einfacher, erst b) über die Folgen-Defintion zu zeigen und dann a) über das Komplement. Aber es reizt doch, das Offensichtliche auch formal auf die Reihe zu kriegen.

Gruß Mahthilf

Comments

Hat zugegeben etwas gebraucht bei mir bis ich das alles nachvollziehen konnte, aber hat jetzt Klick gemacht! Wirklich sehr elegant gelöst, du bist ein Genie! :D