Wie kann ich diese Aussagen für folgenden Unterring und folgende Funktion beweisen?

Question

Wir betrachten den Unterring
\(\mathbb{Z}[\sqrt{3}]:=\{a+b \sqrt{3} \in \mathbb{R} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{R}\)
und die Funktion \( N: \mathbb{Z}[\sqrt{3}] \rightarrow \mathbb{Z}, N(a+b \sqrt{3}):=a^{2}-3 b^{2} \).
a) Zeigen Sie, dass \( N(x y)=N(x) N(y) \) für alle \( x, y \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}] \) gilt.
b) Sei \( x=a+b \sqrt{3} \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}] \) beliebig. Zeigen Sie: \( x \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]^{\times} \Leftrightarrow N(x) \in\{ \pm 1\} \).
c) Sei \( x=a+b \sqrt{3} \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]^{\times} \)eine Einheit. Zeigen Sie: Falls \( x \neq \pm 1 \), dann sind die Elemente \( x^{n} \) für \( n \in \mathbb{Z} \) paarweise verschieden.
d) Zeigen Sie, dass die Gleichung \( a^{2}-3 b^{2}=1 \) unendlich viele Lösungen \( (a, b) \in \) \( \mathbb{Z}^{2} \) besitzt.
e) Wie viele Elemente \( (a, b) \in \mathbb{Z}^{2} \) gibt es, für die \( a^{2}-3 b^{2}=-1 \) gilt?
(Tipp für \( (e) \) : Bestimmen Sie zunächst, wie viele Lösungen \( (\bar{a}, \bar{b}) \in(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z})^{2} \) der Gleichung \( \bar{a}^{2}-\overline{3} \bar{b}^{2}=\overline{-1} \) in \( \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} \) existieren.)

Answer 1

Zu d):

Sei \(x=2+\sqrt{3}\). Dann gilt \(N(x)=1\),

also auch \(N(x^n)=N(x)^n=1\).

Nun ist aber offenbar \(x^n=(2+\sqrt{3})^n>2^n\).

Das heißt, dass die Menge

\(\{x^n: \; n\in \mathbb{N}^*\} \subseteq \mathbb{Z}[\sqrt{3}]^{\times}\) nicht

beschränkt ist.