Zuersteinmal gilt, wie du wahrscheinlich implizit in deiner Argumentation angenommen hast, dass
\(\begin{aligned} \sup_{ A \in \mathcal{F}} \left| \mu\left( A\right) - \nu ( A) \right| = \sup_{ A \in \mathcal{F}} \left| \mu\left( A\right)-1 + 1-\nu (A ) \right| =\sup_{ A \in \mathcal{F}} \left| \mu\left( \Omega \setminus A\right) - \nu ( \Omega \setminus A) \right|. \end{aligned}\)
Mittels Dreiecksungleichung erhält man aus der obigen Gleichheit schonmal die erste Ungleichung:
\(\begin{aligned} 2 D( \mu , \nu ) \leqslant \sum_{ \omega \in \Omega } \left| \mu\left( \{ \omega \}\right) - \nu ( \{ \omega \}) \right| .\end{aligned}\)
Für die andere Ungleichung betrachten wir \( E = \{ \omega \in \Omega \mid \mu\left( \{ \omega \}\right) \geqslant \nu ( \{ \omega \}) \}\) und erhalten
\(\begin{aligned} \sum_{ \omega \in \Omega } \left| \mu\left( \{ \omega \}\right) - \nu\left( \{ \omega \}\right) \right| = \left| \mu\left( E\right) - \nu ( E) \right| + \left| \mu\left( \Omega \setminus E\right) -\nu\left( \Omega \setminus E\right) \right|\leqslant 2 D( \mu , \nu ) .\end{aligned}\)