Aufgabe zum Abstand zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Question

Aufgabe: Seien \( \mu , \nu \)  Wahrscheinlichkeitsmasse auf \( ( \Omega , \mathcal{F}) \) wobei \( \Omega \) abzählbar ist. Zeige, dass
\( D ( \mu , \nu ) = \sup_{ A \in \mathcal{F}}  | \mu ( A) - \nu ( A) | = \frac{1}{ 2} \sum_{ \omega \in \Omega } | \mu ( \{ \omega \}) -\nu( \{ \omega \} ) |\)

Meine Argumentation im Falle eines endlichen \(\Omega\):

O.V.d.A. können wir annehmen, dass \( \sum_{ \omega \in M} ( \mu( \{ \omega \}) - \nu( \{ \omega \})) \) positiv ist (sonst kann man die Summen vertauschen).
Gäbe es einen Term in der Summe, welcher ein anderes Vorzeichen als die restlichen Terme hat, so könnten wir ihn einfach weglassen und würden eine grössere Summe erhalten, was der Maximalität von \(M\) widerspräche. Somit gilt also
\( | \mu( M) - \nu( M) | = \sum_{ \omega \in M } | \mu( \{ \omega \}) - \nu( \{ \omega \}) |\)
Analog argumentiert man für \( \Omega \setminus M\) woraus die Aussage folgt.

Ich weiss nur nicht, wie man argumentieren kann, wenn das Maximum nicht unbedingt in \(\mathcal{F}\) enthalten ist.

Answer 1

Zuersteinmal gilt, wie du wahrscheinlich implizit in deiner Argumentation angenommen hast, dass

\(\begin{aligned} \sup_{ A \in \mathcal{F}} \left| \mu\left( A\right) - \nu ( A) \right| = \sup_{ A \in \mathcal{F}} \left| \mu\left( A\right)-1 + 1-\nu (A )  \right| =\sup_{ A \in \mathcal{F}}  \left| \mu\left( \Omega \setminus A\right) - \nu ( \Omega \setminus A) \right|. \end{aligned}\)

Mittels Dreiecksungleichung erhält man aus der obigen Gleichheit schonmal die erste Ungleichung:

\(\begin{aligned}   2 D( \mu , \nu ) \leqslant \sum_{ \omega \in \Omega } \left| \mu\left( \{ \omega \}\right) - \nu ( \{ \omega \}) \right| .\end{aligned}\)

Für die andere Ungleichung betrachten wir \( E = \{ \omega \in \Omega \mid \mu\left( \{ \omega \}\right) \geqslant \nu ( \{ \omega \}) \}\) und erhalten

\(\begin{aligned}   \sum_{ \omega \in \Omega }   \left| \mu\left( \{ \omega \}\right) - \nu\left( \{ \omega \}\right) \right|   =   \left| \mu\left( E\right) - \nu ( E) \right|   + \left| \mu\left( \Omega \setminus E\right) -\nu\left( \Omega \setminus E\right) \right|\leqslant 2 D( \mu , \nu ) .\end{aligned}\)