Bestimmen Sie den Grenzwert } f(x) für die Funktion

Question

Text erkannt:

Bestimmen Sie den Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x) \) für die Funktion
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\cos (x) e^{x+\sin (x)}}{3} & x \geq 0 \\ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(e^{x}\right)^{n} & \text { sonst } \end{array}\right. \)

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert

Answer 1

Aloha :)

Den rechtsseitigen Grenzwert erhalten wir durch Einsetzen von \(x=0\) in den oberen Teil:$$\lim\limits_{x\searrow0}f(x)=f(0)=\frac{\cos(0)\cdot e^{0+\sin(0)}}{3}=\frac13$$

Für den linksseigen Grenzwert ist \(x<0\), sodass \(e^x<1\) gilt. Für die Summe können wir dann (fast) den Grenzwert der geometrischen Reihe verwenden:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad;\quad|q|<1$$Da die Summe in der Definition von \(f\) jedoch nicht beim Index \(0\), sondern beim Index \(1\) beginnt, müssen wir sie zuerst etwas umformen:$$\lim\limits_{x\nearrow0}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\sum\limits_{n=1}^\infty(e^x)^n=\lim\limits_{x\nearrow0}\left(\sum\limits_{n=\pink0}^\infty(e^x)^n-(e^x)^{\pink0}\right)=\lim\limits_{x\nearrow0}\left(\frac{1}{1-e^x}-1\right)$$$$\phantom{\lim\limits_{x\nearrow0}f(x)}=\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{e^x}{1-e^x}\to\frac{1}{0^+}\to\infty$$

Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich sind, kann man nicht den einen Grenzwert für \(x\to0\) definieren. Das heißt, der gesuchte Grenzwert existiert nicht.