Aloha :)
Wenn du am Ende "eine Varible drin" hast, hast du die falsche Reihenfolge beim Integrieren verwendet. Beim Integral über \(dz\) hängt die obere Grenze von \(x\) und \(y\) ab. Du musst daher zunächst \(x\) und \(y\) fest halten (also wie Konstanten behandeln), und zuerst über \(dz\) integrieren:$$I=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^x\int\limits_{z=0}^{x+y}x\,dz\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^x\left[xz\right]_{z=0}^{x+y}dy\,dx=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^x\left(x(x+y)\right)dy\,dx$$
Nun hängt die obere Grenze für \(dy\) von der Variablen \(x\) ab. Du musst also \(x\) fest halten (als Konstante behandeln) und über \(dy\) integrieren:$$I=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^x\left(x^2+xy\right)dy\,dx=\int\limits_{x=0}^1\left[x^2y+\frac{xy^2}{2}\right]_{y=0}^xdx=\int\limits_{x=0}^1\left(x^3+\frac{x^3}{2}\right)dx$$
Der Rest ist klar:$$I=\int\limits_0^1\frac32x^3\,dx=\left[\frac38x^4\right]_0^1=\frac38$$
