Es sei \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( f(x)=\ln (x) \) und \( x_{0}=5 \).
i) Bestimmen Sie das Tayloypolynom 3. Grades von \( f \) mit Entwicklungspunkt \( x_{0} \).
ii) Bestimmen Sie die Taylorreihe von \( f \) um den Entwicklungspunkt \( x_{0} \).
Ich kenne die Formel \( T\left(x, f, x_{0}\right)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n} \) zur Berechnung des Taylorpolynoms. Wie sieht es denn aus mit der Taylorreihe ?
Ich erkenne den Unterschied zwischen den beiden Aufgaben nicht.
Bei i) soll ich das Taylorpolynom 3. Grades berechnen, was im Endeffekt wäre :
\( T_{3}\left(x, f, x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right)}{3 !}\left(x-x_{0}\right)^{3} \)
Hierfür müsste ich doch nur bis zur 3. Ableitung berechnen und \( x_{0} \) = 5 einsetzen. Am Ende kommt das alles in die oben genannte Formel. Dadurch erhält man das Taylorpolynom 3. Grades.
Wie wäre denn Aufgabe b ? Was wäre denn der Unterschied zwischen dem Taylorpolynom und der Taylorreihenentwicklung ?
