Deine Idee, dass nur die einelementigen Teilmengen zussammenhängend sind, ist korrekt.
Du mussst nur noch zeigen, dass jede Teilmenge von \(\mathbb Q\), die mindestens zwei Elemente enthält, nicht zusammenhängend ist. Das ist aber ziemlich einfach.
Sei also \(x,y \in M\subseteq \mathbb Q\) mit \(x<y\). Wähle
\(r\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\) mit \(x<r<y\).
Nun setze
\(A_1 = (-\infty,r], A_2 = [r,+\infty),O_1 = (-\infty,r), O_2 = (r,+\infty)\).
Dann gilt
\(M_1 = A_1 \cap \mathbb Q = O_1 \cap \mathbb Q\) und \(M_2 = A_2 \cap \mathbb Q = O_2 \cap \mathbb Q\) sind nichtleer und in \(\mathbb Q\) offen und abgeschlossene Mengen und es gilt
\(M_1 \cup M_2 = M\) und \(M_1 \cap M_2 = \emptyset\).
Damit ist \(M\) per Definition nicht zusammenhängend.
