Gesucht ist ein Näherungswert für das Integral..

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gesucht ist ein Näherungswert für das Integral
\( I=\int \limits_{0}^{\frac{2}{5}} \cos \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x \)
a) Nähern Sie den Integranden durch eine Potenzreihe an der Entwicklungsstelle \( \boldsymbol{x}_{0}=\mathbf{0} \) an und berücksichtigen Sie alle Reihenglieder bis zur Ordnung 4 .
\( \cos \left(x^{2}\right)= \)
\( +\mathcal{O}\left(x^{5}\right) \)
b) Integrieren Sie die Potenzreihe aus Teilaufgabe a) und berücksichtigen Sie alle Reihenglieder bis zur Ordnung 5.
\( \int \cos \left(x^{2}\right)= \)
\( +\mathcal{O}\left(x^{6}\right) \)
c) Berechnen Sie einen Näherungswert für das Integral \( \boldsymbol{I} \) mithilfe der Potenzreihe aus Teilaufgabe b).
\( I \approx \)

Problem/Ansatz:

kann mir hier jemand die lösung +Rechenweg aufzeigen so dass ich es nachvollziehen kann.Bitte nicht nur die Lösung :) dankeschön

Answer 1

Hallo,

Berechne zunächst die Ableitungen bis zur 4.:$$f(x)=\cos\left(x^2\right) \\ f'(x)=-2x\sin\left(x^2\right) \\ f''(x)= -4x^{2}\cos\left(x^{2}\right)-2\sin\left(x^{2}\right) \\ f'''(x)=-12x\cos\left(x^2\right)+8x^3\sin\left(x^2\right)\\ f^{(4)}(x)=4(4x^4-3)\cos\left(x^2\right) +48x^2\sin\left(x^2\right)$$nur die 4.Ableitung ist an der Stelle \(x_0=0\) nicht \(=0\) - es ist$$f^{(4)}(0) = -12 $$ also lautet das Taylorpolynom$$T_4(x,0) = f(0) +\dots + \frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4=1 - \frac{12}{4!}x^4= 1-\frac{1}{2}x^4$$Integrieren gibt dann$$\int T_4(x,0)\,\text{d}x = x-\frac{1}{10}x^5+C$$und die Berechnung des Näherungswerts$$\int\limits_{0}^{2/5}T_4(x,0)\,\text{d}x = \left[x-\frac{1}{10}x^5\right]_{0}^{2/5}=\frac{2}{5}\cdot\frac{6250-16}{6250} \approx 0,39898$$Das ganze nochmal optisch:

https://www.desmos.com/calculator/nifg72klfa

Der rote Graph ist der von \(f(x)\) und grün ist das Taylorpolynom.

Gruß Werner

Answer 2

Hallo

du sollst die Taylorreihe  von cos(x^2) bis x^4 einsetzen und integrieren. (wenn du die Reihe für cos(x) kennst dann einfach da x^2 einsetzen)

Das kannst du sicher selbst.

Gruß lul