Aloha :)
Die Eigenwertgleichung lautet$$\mathbf A\cdot\vec v=\lambda\cdot\vec v\quad;\quad\vec v\ne0$$Um die Eigenwerte \(\lambda\) zu bestimmen, bringen wir alle Terme auf die linke Seite$$\mathbf A\cdot\vec v-\lambda\cdot\vec v=\vec 0$$nutzen aus, dass das Produkt aus der Einheitsmatrix \(\mathbf1\) passender Größe und eines Vektors \(\vec v\) als Ergebnis wieder den Vektor hat, also \((\mathbf1\cdot\vec v=\vec v)\)$$\mathbf A\cdot\vec v-\lambda\cdot\mathbf1\cdot\vec v=\vec 0$$damit wir den Vektor \(\vec v\) nach rechts ausklammern können:$$\left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf1\right)\cdot\vec v=\vec 0$$
Offensichtlich erfüllt der Vektor \(\vec v=0\) immer dieses Gleichungssystem. Wenn das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, wird es also nur die Lösung \(\vec v=0\) geben. Per Definition müssen Eigenvektoren aber \(\vec v\ne\vec 0\) sein. Das heißt, wir müssen diejenigen Werte für \(\lambda\) finden, für die das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante der Matrix \((\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf1)\) verschwindet. Die Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte lautet also:$$\pink{\operatorname{det}(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1)\stackrel!=0}$$
Das rechnen wir jetzt mal zusammen für deine Matrix durch. Da die Matrix \((\lambda\cdot\mathbf1)\) auf der Hauptdiagonalen nur \(\lambda\) stehen hat und ansonsten nur Nullen enthält, subtrahieren wir auf der Hauptdiagonalen von \(\mathbf A\) jeweils ein \(\lambda\):$$0\stackrel!=\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}\green{-1-\lambda} & 9 & \green{-2}\\0 & \red{5-\lambda} & 0\\\green{-2} & -8 & \green{-1-\lambda}\end{array}\right)=(\red{5-\lambda})\cdot\left((\green{-1-\lambda})^2-(\green{-2})^2\right)$$$$\phantom0=(5-\lambda)\cdot((\lambda^2+2\lambda+1)-4)=(5-\lambda)\cdot(\lambda^2+2\lambda-3)$$$$\phantom0=(5-\lambda)\cdot(\lambda+3)\cdot(\lambda-1)$$
Wir lesen die 3 Eigenwerte ab:\(\quad\lambda_1=5\quad;\quad\lambda_2=-3\quad;\quad\lambda_3=1\)
Die Reihenfolge ist eigentlich egal. Manchmal werden Eigenwerte aber der Größe nach sortiert. Schau mal in deine Vorlesung, ob ihr dazu eine Vereinbarung getroffen habt.
