Differenzierbarkeit: Zeigen Sie, dass es ein v ∈ R^2 mit ||v||^2 = 1 gibt

Question

Aufgabe:

Wir betrachten

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & \text { falls } x=y \\ 0, & \text { sonst. }\end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass es ein v ∈ R^2 mit ||v||^2 = 1 gibt, sodass $$J_f(0,0) \neq D_v f(0,0) $$

Problem/Ansatz:

Die Jacobi Matrix der Funktion an der Stelle (0,0) ist [ 1, 0 ] und die Richtungsableitung an der Stelle wäre bei einem v im R^2 nach Rechnung v1. Jetzt müssen wir ein v finden, für das Jf(0, 0)v ≠ D_vf(0, 0) gilt.

Wenn man z.B. v1= [ 0 , 1 ] wählt erhalten wir Jf(0, 0)v = 0 und D_vf(0, 0) = 0, also für v = [0, 1], gilt Jf(0, 0)v ≠ D_vf(0, 0)? Wir sind verwirrt wissen nicht ob dieser Ansatz richtig ist und wissen nicht mehr weiter.

Comments

Diese Aufgabe ist nicht korrekt gestellt.

Die Jacobi-Matrix von \(f\) ist der Gradient von \(f = (f_x \:\:f_y)\) - also der Vektor der partiellen Ableitungen von \(f\) nach \(x\) bzw. \(y\).

Die Richtungsableitung in eine Richtung \(v\) ist hingegen eine Zahl.

Sinnvoller wäre die Aufgabe: Zeige, dass es eine Richtung \(v\) gibt mit

$$J_f(0,0)\cdot v \neq D_vf(0,0)$$

Dazu nimmst du die Richtung \(v= \frac 1{\sqrt 2}\binom 11\). Übrigens ist \(J_f(0,0) = (0\:\: 0 )\).

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Ne die Jacobi Matrix ist doch (1,0)

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ach ne sin(h,0) ist 0, da x ungleich y