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Die Ableitung einer Vektor-Funktion$$\vec f(x)=\begin{pmatrix}3\sin x\\-11\cos x\\-x\end{pmatrix}$$
erhältst du, indem du jede Komponente einzeln ableitest:$$\vec f(x)=\begin{pmatrix}3\cos x\\11\sin x\\-1\end{pmatrix}$$
Der Betrag dieses Vektor-Funktion ist:$$f(x)=\sqrt{(3\cos x)^2+(11\sin x)^2+(-1)^2}=\sqrt{9\cos^2x+121\sin^2x+1}$$$$\phantom{f(x)}=\sqrt{\underbrace{9\cos^2x+9\sin^2x}_{=9}+112\sin^2x+1}=\sqrt{10+112\sin^2x}$$
Mit \(\left(\sin^2x=\frac12-\frac12\cos(2x)\right)\) werden wir das Quadrat beim Sinus los:$$f(x)=\sqrt{10+\frac{112}{2}-\frac{112}{2}\cos(2x)}=\sqrt{66-56\cos(2x)}$$
Dieser Betrag soll gleich \(5\) sein:$$\sqrt{66-56\cos(2x)}=5\implies66-56\cos(2x)=25\implies56\cos(2x)=41\implies$$$$\cos(2x)=\frac{41}{56}\implies 2x=\mathbb Z\cdot2\pi\pm\arccos\left(\frac{41}{56}\right)\implies$$$$x_n=n\cdot\pi\pm\frac12\arccos\left(\frac{41}{56}\right)\quad;\quad n\in\mathbb Z$$
Wegen der \(2\pi\)-Periode der Cosinus-Funktion gibt es unendlich viele Stellen \(x_n\), an denen der Betrag der Vektor-Funktion gleich \(5\) ist.
