Abstand von der Piste (Polynome)

Question

Buckelpiste gehört seit 1992 zum offiziellen Programm der Olympischen Winterspiele. Die rote Kurve zeigt die Bahn der Skibindung eines Rennläufers im Profil, die einer Parabel 4. Grades folgt. Vom Punkt A(-2|?) bis zum Punkt B(4|?) fliegt der Rennläufer durch die Luft und verlässt die Piste, welche in diesem Abschnitt dem Verlauf der Parabel mit der Gleichung p(x)=-x²/8+3 folgt. Absprung und Landung verlaufen jeweils Tangential zur Piste. Auf der Bahn der Skibindung liegt der Punkt (-4|3).

Welchen vertikalen Abstand von der Piste hat die Skibindung des Rennläufers im höchsten Punkt seiner Flugbahn?

Comments

Bezeichne die Funktion vierten Grades mit q. Gesucht ist wohl das Maximum der Differenzfunktion D(x) = q(x) - p(x) im Intervall (-2,4). Den Angaben zufolge ist D(x) = c·(x+2)²·(x-4)² mit geeignetem c.
Aus D(-4.4) = q(-4.4) - p(-4.4) = c·(-4.4+2)²·(-4.4-4)² folgt c = 1/128.
Im Intervall (-2,4) ist D offenbar maximal, wenn x = 1 ist. Der gesuchte Abstand ist D(1) = 81/128.

Answer 1

Welchen vertikalen Abstand von der Piste hat die Skibindung des Rennläufers im höchsten Punkt seiner Flugbahn?

Der größte Abstand beträgt 0.6328

Ich habe mein Ergebnis auf 4 wesentliche Ziffern gerundet. Weiterhin verzichte ich auf die Angabe einer Rechnung. So können andere noch nachrechnen und mein Ergebnis etwas verbessern.

Es sollte darauf hingewiesen werden sollte, dass in der Aufgabe keine Längenangaben benannt werden und ich daher auch keine Längenangabe in mein Ergebnis geschrieben habe.

Comments

Als kleiner Tipp, wenn man Aufgaben erstellt: Verwende keine redundanten Informationen. Warum A und B als Punkte mit y-Koordinate angeben, wenn man die y-Koordinate auch über p(x) berechnen kann.

---

@mathecoach: Du hast bemerkt, dass es mir vor allem um das Erstellen einer Aufgabe ging. Daher vielen Dank für deinen Hinweis zur Vermeidung von Redundanzen. Bei Veröffentlichung meiner Aufgabe an geeigneter Stelle, werde ich deinen Rat beherzigen.

---

Warum verwendest du übrigens als weiteren Punkt (-4.4 | 3.7552). Möchtest du das den Schülern damit unnötig schwer machen? Warum nicht einfach (-4 | 3).

Oder möchtest du vermeiden, dass die Schüler die Aufgabe im Kopf rechnen? Ok. Vermutlich würde das wohl eh niemand tun.

---

Ebenso wie dir, gefällt es mir gar nicht, wenn man etwas unnötig verkompliziert. Danke auch für diesen Hinweis.

Answer 2

f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

f(-4,4) = 3,7552

f(-2) = 2,5

f '(-2)= p'(-2)

f(4)=1

f '(4) = p'(4)