Aloha :)
zu c) Wenn die Ebene E die xy-Ebene ist, können die Koordinaten \(x\) und \(y\) beliebige Werte annehmen, aber die \(z\)-Koordinate ist gleich null. Daher lautet die Koordinatengleichung für die Ebene:$$z=0$$Daraus erhältst du die Normalengleichung der Ebene:$$0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z=0\quad\implies\quad\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot\vec x=0$$
zu d) Diesmal können die Koordinaten \(x\) und \(z\) beliebige Werte annehmen, aber die \(y\)-Koordinate muss gleich null sein. Die Koordinatengleichung:$$y=0$$führt uns dann auf die Normalengleichung:$$0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z=0\quad\implies\quad\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\vec x=0$$
zu e) Die Ebene enthält die z-Achse, also hat sie den Richtungsvektor \((0;0;1)^T\). Auf der z-Achse liegt insbesondere der Urpsrung, also liegt der Nullpunkt in der Ebene. Da die Ebene auch noch den Punkt \(P(1;1;0)\) enthält, muss auch der Vektor \((1;1;0)^T\) in der Ebene liegen. Ein Normalenvektor der Ebene ist daher:$$\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$Wir normieren den Normalenvektor durch den Vorfaktor \(\frac{1}{\sqrt2}\) noch auf die Länge\(1\) und erhalten als Normalengleichung der Ebene:$$\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\vec x=0$$
