Verwende die Formel \( r=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} \)
Das gibt für den Bruch, dessen Limes man braucht:
\( \frac{ \frac{n^{2n}}{(n!)^2} }{ \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{((n+1)!)^2} } = \frac{ \frac{(n^{n})^2}{(n!)^2} }{ \frac{((n+1)^{n+1})^2}{((n+1)!)^2} } \)
Wenn man erst mal die Quadrate weglässt
\( = \frac{ \frac{n^{n}}{n!} }{ \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} } = \frac{n^{n}\cdot (n+1)! }{n! \cdot (n+1)^{n+1} } = \frac{n^{n}\cdot (n+1) }{ (n+1)^{n+1} } \)
\( = \frac{n^{n}}{ (n+1)^{n} }= (\frac{n}{ n+1 })^n = ( 1-\frac{1}{ n+1 } )^n\)
Das geht also gegen e-1 . Und das Quadrat somit gegen e-2 = r.