Konvergenz von Reihen untersuchen

Question

Sind diese Reihen divergent oder konvergent?

1.) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k^2}{2^k}} \)

Mein Ansatz:

über das Wurzelkriterium:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k^2}{2^k}} \) = 1/2 + 1+9/8+1+.......

lim x-> ∞           \( \sqrt[k]{|k^2/2^k|} \) > 1 für alle k

deshalb divergent?

und

2.)  \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2^k}{k^2}} \)

Mein Ansatz:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2^k}{k^2}} \) = 2+1+8/9+1

lim x-> ∞          \( \sqrt[k]{|2^k/k^2|} \) > 1 für alle k

=> divergent?

Answer 1

es ist

$$\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{k^2/2^k}=\frac{1}{2}\lim\limits_{k\to\infty}(\sqrt[k]{k})^2=\frac{1}{2}$$

Die entsprechende Reihe konvergiert also. Die andere nicht weil da der Kehrwert =2>1 rauskommt.

Comments

wie kommt man auf die 1/2? Habe es noch nicht wirklich verstanden.

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Welche 1/2 meinst du? Die nach dem ersten Gleichheitszeichen oder nach dem zweiten?

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auf beiden Seiten die 1/2

Ich habe bisher es so gemacht:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{k^2/2^k} \)

= \( \sqrt[k]{|k^2/2^k|} \) = (k²/2^k)^1/k

?

Weiter komme ich nicht

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Ergänzung: (k^2*2^-k)^1/k

Aber auf die 1/2 komme ich nicht

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Das ist Anwendung der Potenzgesetze.

(k^2*2^{-k})^{1/k}=(k^2)^{1/k}*(2^{-k})^{1/k}

=k^{2/k}*2^{-k/k}=k^{2/k}*2^{-1}

=(k^{1/k})^2*1/2

Jetzt musst du noch den Grenzwert k gegen unendlich nehmen.

Die k-te Wurzel aus k    (=k^{1/k}) strebt gegen 1. Wie man das beweist

siehst du hier.

Aber den Grenzwert darfst du wahrscheinlich als bekannt voraussetzen.

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bei 2. Aufgabe erhalte ich 2*(k^´(-2/k)) = 2*k^-2k = 2*(k^1/k)^-2 ?