Potenzradius der Potenzreihe bestimmen

Question

Aufgabe: Den Potenzradius dieser Potenzreihe bestimmen:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=2023}^{\infty} \frac{n^{2 n}}{(n !)^{2}} x^{n} \)

Problem/Ansatz:

Ich würde mich über jeden Tipp freuen. Leider komme ich mir Konvergenzradien noch nicht so zurecht.

Answer 1

Ich verwende die Quotientenformel für den Konvergenzradius \(r\):

\(r^{-1}=\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).

Es ist$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{2(n+1)}}{[(n+1)!]^2}\cdot \frac{(n!)^2}{n^{2n}}=\frac{(n+1)^{2n}(n+1)^2}{(n!)^2(n+1)^2}\cdot\frac{(n!)^2}{n^{2n}}=\\=\frac{(n+1)^{2n}}{n^{2n}}=[(1+\frac{1}{n})^n]^2\to e^2. $$\(r\) ist also \(\frac{1}{e^2}\)

Comments

Ich danke dir für die Antwort. :-)

Answer 2

Verwende die Formel \(  r=\lim\limits_{n \to \infty}  \frac{a_n}{a_{n+1}} \)

Das gibt für den Bruch, dessen Limes man braucht:

\(   \frac{  \frac{n^{2n}}{(n!)^2} }{ \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{((n+1)!)^2} } =  \frac{  \frac{(n^{n})^2}{(n!)^2} }{ \frac{((n+1)^{n+1})^2}{((n+1)!)^2} } \)

Wenn man erst mal die Quadrate weglässt

\( =  \frac{  \frac{n^{n}}{n!} }{ \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} } =  \frac{n^{n}\cdot (n+1)! }{n! \cdot (n+1)^{n+1} } =  \frac{n^{n}\cdot (n+1) }{ (n+1)^{n+1} } \)

\( =  \frac{n^{n}}{ (n+1)^{n} }=  (\frac{n}{ n+1 })^n = ( 1-\frac{1}{ n+1 } )^n\)

Das geht also gegen e^-1 . Und das Quadrat somit gegen e^-2 = r.

Comments

Vielen lieben Dank! Ich weiß die Hilfe sehr zu schätzen.