Wo steckt der Fehler in dieser Argumentation?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wo steckt der Fehler in dieser Argumentation?
Aufgabe Berechne das Integral \( \int \frac{x}{x+1} d x \)
1. Lösung Substitution \( u=x+1 \) liefert
\( \begin{array}{c} \int \frac{x}{x+1} d x=\int \frac{u-1}{u} d u \\ =\int\left(\frac{u}{u}-\frac{1}{u}\right) d u=\int\left(1-\frac{1}{u}\right) d u=\int 1 d u-\int \frac{1}{u} d u \\ =u-\ln |u|=x+1+\ln |x+1| \end{array} \)
2. Lösung Addition einer 0 liefert
Bemerkung:
Aus (1) und (2) folgt:
\( x+1-\ln |x+1|=x-\ln |x+1| \)
also \( 1=0 \rightarrow \) Widerspruch!
\( \begin{array}{c} \int \frac{x}{x+1} d x=\int \frac{x+0}{x+1} d x=\int \frac{x+1-1}{x+1} d x \\ =\int\left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right) d x=\int\left(1-\frac{1}{x+1}\right) d x=\int 1 d x-\int \frac{1}{x+1} d x \\ =x+\ln |x+1| \end{array} \)

Comments

Kennst du den albernen Witz, der mit der überraschenden Pointe "+C" endet?

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Der Fehler liegt vermutlich darin, dass die Integrationskonstante unberücksichtigt bleibt.

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vgl:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Wenn man ein unbestimmtes Integral berechnet, dann ist das die Menge aller Stammfunktionen. D.h. man muss eigentlich noch ein + C hinzufügen.

Jetzt wird auch klar, das sich Stammfunktionen durchaus durch eine Konstante unterscheiden können.

Selbes Beispiel

f(x) = (x - 2)^2

F(x) = ∫ 3·(x - 2)^2 dx = (x - 2)^3 = x^3 - 6·x^2 + 12·x - 8

oder

F(x) = ∫ 3·(x^2 - 4x + 4) dx = ∫ 3·(1/3·x^3 - 2x^2 + 4x) dx = x^3 - 6x^2 + 12x

Folgt daraus jetzt

x^3 - 6·x^2 + 12·x - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x

Natürlich nicht. Weil die Integrationskonstanten völlig vernachlässigt worden sind.

Answer 2

Der Fehler in der Argumentation besteht darin, dass zwei Stammfunktionen derselben Ausgangsfunktion miteinander verglichen werden. Allerdings müssen die Stammfunktionen gar nicht gleich sein, sondern ihre Ableitungen. Deswegen ist "Aus (1) und (2) folgt: (...)=(...)" nicht richtig.