Zeigen Sie, dass die Diagonaleinträge von A positiv sind.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Diagonaleinträge von A positiv sind.

Problem/Ansatz:

a) Sei A ∈ R^n×n
symmetrisch und positiv definit. Zeigen Sie, dass die Diagonaleinträge
von A positiv sind.

b) Sei beta eine Bilinearform im R^3, deren darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis durch A gegeben ist. Sei A =

3	-2	0
-2	2	-2
0	-2	1

Entscheiden Sie, ob beta positiv definit ist. Meine Antwort: Nein, da die dritte Hauptminore von A <0 ist. Bestimmen Sie die Signatur von beta. Muss ich dafür die eigenwerte von A berechnen?

Comments

a)  Wenn \(A\in\R^{n\times n}\) symmetrisch und positiv definit ist, dann ist \(x^\top\!Ax>0\) für alle \(x\in\R^n\setminus\lbrace0\rbrace\).
Wähle für \(x\) nacheinander die \(k\)-ten Einheitsvektoren \(e_k=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)^\top\!\in\R^n\).

Answer 1

Entscheiden Sie, ob beta positiv definit ist. Meine Antwort: Nein, da die dritte Hauptminore von A <0 ist.

Das ist richtig.

Bestimmen Sie die Signatur von beta. Muss ich dafür die eigenwerte von A berechnen?

Nein. Es reicht mithilfe von Elementarmatrizen \(E_1,\cdots, E_k\)
Die Matrix vermöge \(S=E_k\cdots E_2\cdot E_1\) per \(SAS^T\)
in eine Diagonalmatrix zu überführen. Nach Sylvester hat diese dann
dieselbe Signatur wie \(A\).