Für den Beweis der Verneinung sollte ein Widerspruch entstehen,
Nein.
Indirekter Beweis (a.k.a. Beweis durch Widerspruch): Es wird das Gegenteil dessen angenommen, was bewiesen werden soll. Aus dieser Annahme wird ein Widerspruch hergeleitet.
Direkter Beweis: Aus den Voraussetzungen wird was bewiesen werden soll hergeleitet.
Gibt es eine C > 0, sodass für alle f ∈ C[0,1], ||f||oo ≤ C * ||f||1
Aus dieser Frage geht nicht klar hervor, was hier bewiesen werden soll. Auf jeden Fall lautet aber die Antwort auf die Frage entweder "Ja" oder "Nein".
Falls die Antwort "Ja" lautet, dann muss
(1) \(\exists c>0\ \forall f\in C[0,1]: \left\Vert f\right\Vert _{\infty} \leq c\cdot \left\Vert f\right\Vert _{1}\)
bewiesen werden. Falls die Antwort "Nein" lautet, dann muss
(2) \(\forall c>0\ \exists f\in C[0,1]: \left\Vert f\right\Vert _{\infty} > c\cdot \left\Vert f\right\Vert _{1}\)
bewiesen werden.
Die richtige Antwort lautet "Nein". Also muss (2) bewiesen werden. Ob man das mittels indirektem Beweis macht (man nimmt (1) an und leitet daraus einen Widerspruch her) oder ob man das direkt macht (man gibt zu jedem \(c\) ein geeignetes \(f\) an), bleibt jedem selbst überlassen. Ich habe mich für einen direkten Beweis entschlossen.