Gibt es eine positive Zahl C?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe leider keinen Plan, wie die letzte Teilaufgabe zu lösen ist.

Nun, es geht um folgendes:

Sei C [0,1] die Menge stetiger Funktionen f : [0,1]-->R. Wir definieren zwei Normen auf C[0,1]:

||f||₁ =  \( \int\limits_{0}^{1} \) |f(x)| dx ,      ||f||₀₀ = max |f(x)|

c) Gibt es eine C > 0, sodass für alle f ∈ C[0,1], ||f||_oo ≤ C * ||f||₁

Problem/Ansatz:

Allgemein würde hier ja das Archimedische Axiom gelten müssen. Aber es scheint nicht wirklich hilfreich...

LG

Answer 1

Mit anderen Worten: hat der Quotient

        \(\displaystyle\frac{\max \left|f(x)\right|}{\int_0^1\left|f(x)\right|\mathrm{d}x}\)

eine Obergrenze? Schau dir dazu mal die Funktion

        \(f(x) = \begin{cases}1-mx&0\leq x\leq \frac{1}{m}\\0&\frac{1}{m}\leq x\leq 1\end{cases}\)

mit \(m \geq 1\) an.

Comments

Alles klar.

In der vorherigen Teilaufgabe war ein f(x) gegeben :

-x^2+1/2 *x +3/16

Hiervon bestimmt man nun den Quotienten :

max | f(x) | = 1/4   ( bestimmt mit f´(x) und f´´(x) )

\( \int\limits_{0}^{1} \)|f(x)| = 17/96

Vielen Dank!!!

Kann ich das so jetzt allgemein bestimmen, also mich einem f(x) ?

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Hiervon bestimmt man nun den Quotienten

Warum?

Kann ich das so jetzt allgemein bestimmen

Was willst du allgemein bestimmen?

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Wie bestimmt man denn die Obergrenze des Quotienten?

Ich hätte da jetzt das Supremum/Maximum bestimmt und das int |f(x)|

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Schau dir dazu mal die Funktion
        \(f(x) = \begin{cases}1-mx&0\leq x\leq \frac{1}{m}\\0&\frac{1}{m}\leq x\leq 1\end{cases}\)
mit \(m \geq 1\) an.

Das habe ich natürlich nicht wörtlich gemeint. Was ich eigentlich meinte war, setze die Funktion in den Quotienten ein und berechne.

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Also soll jetzt max |f(x)| bestimmt werden

und \( \int\limits_{0}^{1} \) |f(x)|dx? Stehe auf dem Schlauch....tut mir leid.

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setze die Funktion in den Quotienten ein und berechne.

\(\begin{aligned} &  & f(x) & =\begin{cases} 1-mx & 0\leq x\leq\frac{1}{m}\\ 0 & \frac{1}{m}\leq x\leq1 \end{cases}\\ & \implies & \frac{\left\Vert f\right\Vert _{\infty}}{\left\Vert f\right\Vert _{1}} & =\frac{\max\left|f(x)\right|}{\int_{0}^{1}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x}\\ &  &  & =\frac{1}{\int_{0}^{1}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x}\\ &  &  & =\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{m}}\\ &  &  & =2m \end{aligned}\)

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Vielen Dank!

Funktion f ist ja Element C.

Wie kann man dies nur für alle stetigen Funktionen zeigen?

Muss man den Quotienten nach oben und unten abschätzen?

Nach unten abgeschätzt ergibt sich nämlich 1, da dann gilt:

\( \frac{max/f(x)/}{max/f(x)/} \)

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Gibt es eine C > 0, sodass für alle f ∈ C[0,1], ||f||_oo ≤ C * ||f||₁

Die Verneinung von

        \(\exists c>0\ \forall f\in C[0,1]: \left\Vert f\right\Vert _{\infty} \leq c\cdot \left\Vert f\right\Vert _{1}\)

lautet

        \(\forall c>0\ \exists f\in C[0,1]: \left\Vert f\right\Vert _{\infty} > c\cdot \left\Vert f\right\Vert _{1}\)

Um letzteres zu beweisen genügt es, für jedes \(c>0\) ein \(f\) zu finden, so dass

        \(\left\Vert f\right\Vert _{\infty} > c\cdot \left\Vert f\right\Vert _{1}\)

gilt. Diese Ungleichung ist äquivalent zu

        \(\displaystyle \frac{\left\Vert f\right\Vert _{\infty}}{\left\Vert f\right\Vert _{1}} > c\).

Du musst deshalb nur noch ein \(m\) finden, so dass das \(f\) aus meiner Antwort diese Ungleichung erfüllt.

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Habe jetzt den Überblick verloren... wir beweisen jetzt die Verneinung? Dann sollte es doch ein Widerspruch sein.

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wir beweisen jetzt die Verneinung?

Ja.

Dann sollte es doch ein Widerspruch sein.

Verwende weniger Pronomen. Ich weiß nicht, worauf sich das Wort "es" in deinem Satz bezieht.

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OK mach ich.

Für den Beweis der Verneinung sollte ein Widerspruch entstehen, damit die Anfangsaussage wahr ist ( hatten Aussagenlogik selten im Studium) ?

Was wäre daher nun der erste Schritt

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Für den Beweis der Verneinung sollte ein Widerspruch entstehen,

Nein.

Indirekter Beweis (a.k.a. Beweis durch Widerspruch): Es wird das Gegenteil dessen angenommen, was bewiesen werden soll. Aus dieser Annahme wird ein Widerspruch hergeleitet.

Direkter Beweis: Aus den Voraussetzungen wird was bewiesen werden soll hergeleitet.

Gibt es eine C > 0, sodass für alle f ∈ C[0,1], ||f||_oo ≤ C * ||f||₁

Aus dieser Frage geht nicht klar hervor, was hier bewiesen werden soll. Auf jeden Fall lautet aber die Antwort auf die Frage entweder "Ja" oder "Nein".

Falls die Antwort "Ja" lautet, dann muss

(1)        \(\exists c>0\ \forall f\in C[0,1]: \left\Vert f\right\Vert _{\infty} \leq c\cdot \left\Vert f\right\Vert _{1}\)

bewiesen werden. Falls die Antwort "Nein" lautet, dann muss

(2)        \(\forall c>0\ \exists f\in C[0,1]: \left\Vert f\right\Vert _{\infty} > c\cdot \left\Vert f\right\Vert _{1}\)

bewiesen werden.

Die richtige Antwort lautet "Nein". Also muss (2) bewiesen werden. Ob man das mittels indirektem Beweis macht (man nimmt (1) an und leitet daraus einen Widerspruch her) oder ob man das direkt macht (man gibt zu jedem \(c\) ein geeignetes \(f\) an), bleibt jedem selbst überlassen. Ich habe mich für einen direkten Beweis entschlossen.