Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folgen (a_k) auf Monotonie

1) a_k = k/k+1

2) $$a_k = \frac{k^2}{k^2+1}$$

3) $$a_k= \frac{3k+5}{2k+1}$$

Problem/Ansatz:

zu 1)

Es muss ja gelten a_{k+1} - a_k >0 damit die Folge monoton steigend ist (soweit ich weiß)

Ich habe

$$ \frac{k+1}{k+2} - \frac{k}{k+1}= $$

$$\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} - \frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)}=$$

$$\frac{k^2+2k+1-k^2-2k}{(k+1)(k+2)}= \frac{1}{(k+1)(k+2)} > 0$$

Ist das so weit richtig?

Weiter komme ich nicht

Comments

Das sieht doch gut aus.

Die zweite Folge ist eine Teilfolge der ersten und damit auch monoton wachsend.

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Das mag gut aussehen, geht aber wesentlich simpler:
Die Folge \(\displaystyle a_k=\frac k{k+1}=1-\frac1{k+1}\) ist offensichtlich streng monoton steigend.

Answer 1

Aloha :)

$$a_k=\frac{k}{k+1}=\frac{(k\pink{+1})\pink{-1}}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}$$Mit wachsendem \(k\) wird der Bruch immer kleiner. Das heißt wir ziehen von der \(1\) immer weniger ab. Die Folge ist streng monton wachsend.

$$a_k=\frac{k^2}{k^2+1}=\frac{(k^2\pink{+1})\pink{-1}}{k^2+1}=1-\frac{1}{k^2+1}$$Mit wachsendem \(k\) wird der Bruch immer kleiner. Das heißt wir ziehen von der \(1\) immer weniger ab. Die Folge ist streng monton wachsend.

$$a_k=\frac{3k+\pink5}{2k+1}=\frac{(3k+\pink{1,5})+\pink{3,5}}{2k+1}=1,5+\frac{3,5}{2k+1}$$Mit wachsendem \(k\) wird der Bruch immer kleiner. Das heißt wir addieren zu der \(1,5\) immer weniger. Die Folge ist streng monton fallend.

Comments

Okay. Die Methode die ihr gewählt habt ist deutlich kürzer und eleganter als meine.

Wenn ich die zweite nochmal mit $$a_{k+1}-a_k$$ machen würde

Dann käme da ja

$$\frac{(k+1)^2}{(k+1)^2+1}- \frac{k^2}{(k^2+1)}$$ raus

Wenn ich das dann auf denselben Hauptnenner bringe und anschließend voneinander subtrahiere komme ich auf

$$\frac{(2k+1)}{(k^2+2k+2)(k^2+1)}$$

Aber dann komme ich schon wieder nicht weiter

Muss ich das ausrechnen?

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Deine Rechnung ist korrekt.

Du brauchst den Bruch aber nicht weiter zu bearbeiten. Die wichtige Information steckt nur im Vorzeichen des Bruches, und der ist immer positiv:

$$\pink{a_{k+1}-a_k}=\frac{2k+1}{(k^2+2k+2)(k^2+1)}\pink{>0}\implies a_{k+1}>a_k$$

Damit ist klar, dass \((a_k)\) streng monoton wächst.

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Hallo Tschakabumba, danke für die Rückmeldung